鐵之狂傲

標題: Complex Number 的習題 [列印本頁]

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作者: artifact    時間: 06-3-5 00:45
標題: Complex Number 的習題
學歷:
高三 - 純學 (Pure Maths), 機械數(?) (Mechanice), 統計學 (Statistics) 及進階純數 (Further Pure) 學生

今天在做習題時與上難題不知怎麼解決, 所以想說上來請教各位大大 .. <(_ _)>

小生目前在外國留學, 所以中文譯名都不太清楚... 希望不會造成麻煩 ...

問題如下 - Complex Number (複雜數?)

Give that Z = cosΘ + jsinΘ, by considering Z^5, show that
Tan5Θ=(5tanΘ - 10tan^3Θ +tan^5Θ) / (1 - 10tan^2Θ + 5tan^4Θ)

請不吝指教 T ^T

PS:
剛剛發現鐵傲原來不能把 index power 表現出來.. 所以加回 ^ ....

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作者: M.N.M.    時間: 06-3-5 00:52
標題: 回覆: Complex Number 的習題
複數C=Complex number
設tanΘ=t







你所需要的是這種解法嗎
z=cosx+isinx，由隸美弗定理及二項式定理
z^5=cos5x+isin5x=(cosx+isinx)^5
=(cosx)^5+5(cosx)^4(isinx)+10(cosx)^3(isinx)^2+10(cosx)^2(isinx)^3+5(cosx)
(isinx)^4+(isinx)^5
=[(cosx)^5-10(cosx)^3(sinx)^2+5(cosx)(sinx)^4]+i[5(cosx)^4(sinx)-10(cosx)^2
(sinx)^3+(sinx)^5]
比較兩邊實部與虛部
cos5x=(cosx)^5-10(cosx)^3(sinx)^2+5(cosx)(sinx)^4
sin5x=5(cosx)^4(sinx)-10(cosx)^2(sinx)^3+(sinx)^5
tan5x=(sin5x)/(cos5x)，將上面兩式代入，且分子與分母各除以(cosx)^5
得tan5x=[5(tanx)^5-10(tanx)^3+(tanx)^5]/[1-10(tanx)^2+5(tanx)^4]

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