鐵之狂傲

標題: 對稱多項式的分解 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 06-3-9 15:09
標題: 對稱多項式的分解
　　在一個含有若干個元得多項式中，如果互換任意兩個元的位置，多項式不變，這種多項式稱為對稱多項式。例如：x^4+(x+y)^4+y^4是二元對稱多項式，x^3+y^3+z^3-3xyz是三元對稱多項式。

　　一個關於x,y,z,...etc.多元多項式，若依某種順序把文字進行輪換(x換成y，y換成z，...etc)，多項式不變，這種多項式稱為輪換對稱多項式。例：(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x , (a-b+c)(b-c+a)(c-a+b)
都是三元輪換對稱式

　　
　　顯然，對稱多項式都是輪換對稱多項式，而輪換對稱多項式則不一定是對稱多項式。例：(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x是輪換式，但因互換x,y互換，得到的是(y^2)x+(x^2)z+(z^2)y，這已不是原式了，所以原式不是對稱式了。對稱式(輪換式)的和、差、積、商(分母不為零)仍是對稱式(輪換式)


　　如果一個多項式的所有像關於各文字的次數相同，則稱為齊次多項式；否則稱非齊次多項式。由於在對稱式或輪換式中同型項的係數相同，所以三元二次齊次對稱式的一般型式是

f(x)=a(x^2+y^2+z^2)+b(xy+yz+zx)

三元一次非齊次對稱式的一般式是

g(x)=c(x+y+z)+d

[LEFT]這裡a,b,c,d都為常數；三元二次非齊次對稱式的一般形式是[/LEFT]

f(x)+g(x)

　　
　　對於輪換式的因式分解，常用的方法是選定一個元(例：x)，作為主元，將其餘的元看成確定的數，然後用因式定理來確定它的因式，再利用輪換式的特徵，定出幾個相應的因式。例：對於一個關於x,y,z的輪換式，如已定出x-y是它的一個因式，則y-z , z-x都是它的因式






















以上的例題算是基本的三題
以下是就是來挑戰了，給各位練看看分解因式
1.(y-z)^5-(z-x)^5-(x-y)^5

2.(y+z)(z+x)(x+y)+xyz

3.x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-7-10 05:51 PM 編輯 ]

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