鐵之狂傲

標題: 數學史-巴比侖 [列印本頁]

作者: 神乎其技滴小白 時間: 06-3-19 20:24
標題: 數學史-巴比侖
燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底河（Euphrates），向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利亞和伊拉克。

　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們現在的禮拜日。

　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」（cuneiform），形成泥板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械工程的研究，這是當時其他國家少有的。

　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很高。

　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這裡就談談他們這方面的貢獻。
　巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十進位。
十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的「逢十進一」就是基於這種原理。巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協助計算。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
　　　　　　
　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加法。
　
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十五天，十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒等等，我們現代還是繼續採用。

　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
　　
　　這泥板的中間從上到下有像這樣的符號：
讀者可以看出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
　
　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊前五行是形如：
很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
　　可是接下來的卻是這樣的符號：
　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10

就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個將代表 2 × 60 = 120了。
很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
　
巴比侖人怎樣進行除法運算？

　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
15 4 40 1,30

　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我現在把以上的表改寫：
　　　　　　　
　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
　　　　　　　
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解決，這時候「倒數表」就很有用了。

古巴比侖的畢氏定理 ! !

一項已被證明的說法指出，古巴比倫的幾何圖形式被用來占卜的。人們對於畢氏定理的巴比倫證法
(被稱為「兩倍正方形」法)的了解最詳細是來自於被珍藏於大英博物館中的。

對於的猜設如下：假設一個人想要製造一個兩倍於一已知正方形的正方形，他會怎麼做？他可能會把已知正方形的邊長兩倍，但他很快就會了解這麼做事實上是把正方形的面積放大了4倍。如果他觀察這個被放大了4倍的正方形，他可能會為了畫那4個已知正方形的對角線而連接大正方形各邊的中點。

因為這些對角線能把這四個正方形切成一半，於是他便製造了一個兩倍於原已知正方形的正方形。另外，這麼做製造了一個較小的正方形位於已被4倍的正方形的中央，且有4個全等的直角三角形位於四周。其中，此較小正方形的邊長恰好是周圍直角三角形的斜邊。所以，結論是以任河直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積，會等於以兩股為邊的正方形面積的和。這就是畢氏定理。

到目前為止，我們不難發現，雖然巴比倫證法是連接大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，但只要我們旋轉中間以斜邊為邊的正方形，且保持此正方形的頂點在大正方形的邊上，也就是說，我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，我們仍然可以得到與劉輝的證明一樣的圖形。

[ 本文最後由神乎其技滴小白於 07-3-11 04:42 PM 編輯 ]

作者: 焱神鬥太子 時間: 06-3-21 19:19
標題: 回覆: 數學史-巴比侖
原來畢氏定理不只是中國和畢達哥拉斯專有!
我又多了一個新知識^^
不知道還有哪裡有畢氏定理!

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