鐵之狂傲

標題: 挑戰36 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 06-6-22 15:27
標題: 挑戰36
1.設a、b、x、y皆為實數，滿足
ax+by=3，ax^2+by^2=7，ax^3+by^3=16，
ax^4+by^4=42，求ax^5+by^5的值。

2.已知實數x，y，z滿足條件x+y+z=3，x^2+y^2+z^2=5，x^3+y^3+z^3=7，
求x^4+y^4+z^4的值

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作者: 大米龜    時間: 06-6-28 22:05
2.已知實數x，y，z滿足條件x+y+z=3，x^2+y^2+z^2=5，x^3+y^3+z^3=7，
求x^4+y^4+z^4的值
不知道計算有沒有錯誤,大家幫忙檢查一下
我的想法是x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2)
所以要想辦法配出x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2 以下是配的過程

2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
                =3^2-5=4
xy+yz+zx=2

(xy+yz+zx)^2=x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2+2(xy^2 z+yz^2 x+zx^2 y)
所以要求出xy^2 z+yz^2 x+zx^2 y再把其因式分解......xyz(x+y+z)
又要求xyz,其可以用以下方法求出
(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2
=8

(x+y+z)(xy+yz+zx)=xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2+3xyz
xyz=-2/3.......再帶入xyz(x+y+z)=-2

所以(xy+yz+zx)^2=x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2+2(xyz(x+y+z))
x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2=8

x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2)
                   =25-16=9#

P.S好神奇喔剛剛好是3.5.7.9

[ 本文最後由 大米龜 於 06-6-28 10:11 PM 編輯 ]

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作者: 大米龜    時間: 06-6-30 21:48
板大 小弟放棄第一題了 等著板大處死了 公佈算法吧

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作者: M.N.M.    時間: 06-7-2 03:39
[解答]
1.
(ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+xy(ax+by)+by^3
=>7(x+y)=16+3xy......(1)

(ax^3+by^3)(x+y)=ax^4+xy(ax^2+by^2)+by^4
=>16(x+y)=42+7xy......(2)

(1)/(2)=>xy=-38代入(1)
=>x+y=-14

(ax^4+by^4)(x+y)=ax^5+xy(ax^3+by^3)+by^5
=>ax^5+by^5=20

2.
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)
=>xy+yz+zx=2

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=>xyz=-(2/3)

(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)=x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+zy^3+z^3x+z^3y
=x^4+y^4+z^4+xy(x^2+y^2)+xz(x^2+z^2)+yz(y^2+z^2)
=x^4+y^4+z^4+xy(5-z^2)+xz(5-y^2)+yz(5-x^2)
=x^4+y^4+z^4-xyz(x+y+z)+5(xy+xz+yz)
=x^4+y^4+z^4-(-2/3)*3+5*2
=x^4+y^4+z^4+12=7*3
=>x^4+y^4+z^4=9

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作者: 小豬快跑    時間: 06-7-5 06:30
儍眼!....眼睛有點花....@^@!

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