鐵之狂傲

標題: 挑戰41 [列印本頁]
作者: M.N.M.    時間: 06-7-19 13:35
標題: 挑戰41
1.三角形ABC，∠C=90°，AC=√3，BC=1，P在三角形ABC內，且∠BPC=120°，∠APC=120°
，求PC長為何?

2.x，y，z是實數，滿足:x+y+z=x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=3，求所有的可能解(x
，y，z)
作者: ~風冰~    時間: 06-7-20 10:25
第一題應該用外心的定理去做吧

答案3√3

第二題...X=Y=Z=1

不過應該還有別的答案吧
作者: M.N.M.    時間: 06-7-22 17:51
原文由 ~風冰~ 於 06-7-20 10:25 AM 發表
第一題應該用外心的定理去做吧

答案3√3

第二題...X=Y=Z=1

不過應該還有別的答案吧

第一題p不是外心呢

第二題只有這組解，但是要如何證明只有一解是重點
作者: 迷糊小書僮    時間: 06-7-22 20:13
2.x，y，z是實數，滿足:x+y+z=x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=3，求所有的可能解(x
，y，z)


x+y+z=3-------------------------------------------(1)
(x+y+z)^2=9
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9
=>3+2xy+2yz+2xz=9
所以2xy+2yz+2xz=6   =>xy+yz+xz=3-----------------(2)
(x+y+z)^3=27
(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)(x+y+z)=27
(3+2xy+2yz+2xz)(x+y+z)=27
3(x+y+z)+2x^2(y+z)+2y^2(x+z)+2z^2(x+y)=27
3*3+2x^2(y+z)+2y^2(x+z)+2z^2(x+y)+6xyz=27
x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+3xyz=18
帶入(1)則3x^2+3y^2+3z^2-x^3-y^3-z^3+3xyz=9
=>3*3-3+3xyz=9    =>xyz=1------------------------(3)
(3)帶入(2)/(1)    則     1/x+1/y+1/z=x+y+z
因為x，y，z是實數
所以x=1   y=1   z=1


可以這樣算嗎....................囧      好難啊
作者: aeoexe    時間: 06-7-22 23:22
原文由 迷糊小書僮 於 06-7-22 08:13 PM 發表
2.x，y，z是實數，滿足:x+y+z=x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=3，求所有的可能解(x
，y，z)


x+y+z=3-------------------------------------------(1)
(x+y+z)^2=9
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9 ...

照你最後的式:
1/x+1/y+1/z=x+y+z
除了x=y=z=1外...
也可以是x=-1,y=z=1
1/-1+1/1+1/1=-1+1+1
1=1
等式也可以成立的....
作者: 傲月光希    時間: 06-7-23 01:51
2.我們可以用三度空間圖形分布情形來探討
將原題目的等式拆開變成x+y+z=3
                             x^2+y^2+z^2=3
                             x^3+y^3+z^3=3
如此一來便變成三種圖形
已知(1,1,1)為一解，我們現在來證明唯一性，在此我們先討論x+y+z=3跟x^2+y^2+z^2=3
E:x+y+z=3是通過(1,1,1)且法向量為(1,1,1)的平面
z^2+y^2+z^2=3是球心座標O(0,0,0)半徑為√3的球體
                                                     ｜0^2+0^2+0^2-3｜
現在我們來算球心到平面的距離     d(O,E)= -------------------- =√3
                                                     √(1^2+1^2+1^2)

由此可知道球心到平面的距離剛好等於半徑，所以此平面為此球的切平面(切點為(1,1,1))
至於第三個式子不需要分析了
因此此聯立系統之組解僅為(1,1,1)

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-7-24 01:25 PM 編輯 ]
作者: aeoexe    時間: 06-7-23 06:33
原文由 aeoexe 於 06-7-22 11:22 PM 發表

照你最後的式:
1/x+1/y+1/z=x+y+z
除了x=y=z=1外...
也可以是x=-1,y=z=1
1/-1+1/1+1/1=-1+1+1
1=1
等式也可以成立的....

我錯了....
我漏了一個情況....
就是X+Y+Z=3
作者: 迷糊小書僮    時間: 06-7-23 08:27
原文由 傲月光希 於 06-7-23 01:51 發表
2.我們可以用三度空間圖形分布情形來探討
將原題目的等式拆開變成x+y+z=3
                             x^2+y^2+z^2=3
                             x^3+y^3+z^3=3
如此一䠮..




算你厲害................
我看到x^3+y^3+z^3=3畫不出來我就沒有用圖形做了.........囧
作者: 傲月光希    時間: 06-7-24 13:09
1.三角形ABC，∠C=90°，AC=√3，BC=1，P在三角形ABC內，且∠BPC=120°，∠APC=120°
，求PC長為何?

如右圖
知道三角形APB跟三角形BPC為相似三角形，所以
ＰＣ　　　ＢＣ　　　ＰＢ　　１　
－－　＝　－－　＝　－－＝　－(都是線段)
ＰＢ　　　ＡＢ　　　ＰＡ　　２
所以令ＰＣ＝ｔ，則ＰＢ＝２ｔ，ＰＡ＝４ｔ
三角形ＡＰＣ面積＋三角形ＢＰＣ面積＋三角形ＡＰＢ面積＝三角形ＡＢＣ面積＝√3/2
（三角形面積公式：1/2乘任兩邊長度相乘再乘sin的夾角=1/2absinC）
→(1/2)PC*PA*sin120+(1/2)PB*PA*sin120+(1/2)PC*PB*sin120=√3/2
→t*4t*√3/2+2t*4t*√3/2+t*2t*√3/2=√3
→2t^2+4t^2+t^2=1
→7t^2=1
→t^2=1/7
→t=√7/7
所以PC=√7/7

(目前只想到用三角函數解= =，不知道有沒有簡單一點解法)

樓主，答案對嗎？

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-7-24 01:24 PM 編輯 ]
作者: M.N.M.    時間: 06-7-24 13:16
原文由 傲月光希 於 06-7-24 01:09 PM 發表

如右圖(圖略)
知道三角形APB跟三角形BPC為相似三角形，所以
　ＰＣ　　　ＢＣ　　　ＰＢ　　１　
＝－－　＝　－－　..

解對了

但是沒證明為什麼"三角形APB跟三角形BPC為相似三角形"(= =a
作者: 傲月光希    時間: 06-7-24 13:20
原文由 M.N.M. 於 06-7-24 01:16 PM 發表

解對了

但是沒證明為什麼"三角形APB跟三角形BPC為相似三角形"(= =a

我補圖囉，用圖證明
看不懂我可以修改的更明白

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-7-24 01:27 PM 編輯 ]
作者: M.N.M.    時間: 06-7-24 17:36
[解答]
1.
原文由 傲月光希 於 06-7-24 01:09 PM 發表

如右圖
知道三角形APB跟三角形BPC為相似三角形，所以
ＰＣ　　　ＢＣ　　　ＰＢ　　１　
－－　＝　－－　＝　 ...

後半用餘弦定理比較快
設CP=t，BP=2t
1^2=(x^2)+(2x)^2-2*x*2x*cos120°
=>x=(√7)/7

2.
(解法1)

(x+y+z)^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
=>xy+yz+zx=3

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=>xyz=1

由以上條件利用根與係數關係可做方程式
t^3-3(t^2)+3t-1=0
=>(t-1)^3=0
=>t=1，1，1

所以(x，y，z)=(1，1，1)

(解法2)
令x=1+a，y=1+b，z=1+c(其中a，b，c為實數

x+y+z=3
=>a+b+c=0

x^2+y^2+z^2=3
=>(1+a)^2+(1+b)^2+(1+c)^2=3
=>3+2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2=3
=>a^2+b^2+c^2=0
=>(a，b，c)=(0，0，0)
=>(x，y，z)=(1，1，1)



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