鐵之狂傲

標題: 證明題 [列印本頁]

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作者: 大米龜    時間: 06-7-25 13:38
標題: 證明題
試證：1^2005 + 2^2005 +3^2005.....+2004^2005  必能被1+2+3....+2004 所整除。
(出自城市盃試題)

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作者: M.N.M.    時間: 06-7-25 14:28
1+2+3+...+2004=2005*1002

[(1^2005)+(2^2005)+...+(1002^2005)]+[(1003^2005)+(1004^2005)+...+(2005^2005)]

≡[(1^2005)+(2^2005)+...+(1002^2005)]+[(-1002^2005)-(1001^2005)-...-(1^2005)]

≡0 (mod 2005).....(1)

[(1^2005)+(2^2005)+...+(500^2005)]+(501^2005)+[(502^2005)-(503^2005)+...+(1001^2005)]+(1002^2005)+[(1003^2005)+(1004^2005)+...+(2003^2005)]+
2004^5

≡[(1^2005)+(2^2005)+...+(500^2005)]+(501^2005)+[(-500^2005)-(499^2005)-...-(1^2005)]+(1002^2005)+[(1^2005)+(2^2005)+...+(500^2005)]+(501^2005)+[(502^2005)-(503^2005)+...+(1001^2005)]+2004^5

≡501^2005+[(1^2005)+(2^2005)+...+(500^2005)]+(501^2005)+[(-500^2005)-(499^2005)-...-(1^2005)]+(2004^2005)

≡2*(501^2005)

≡0 (mod 1002)......(2)

由(1)(2)得知1^2005 + 2^2005 +3^2005.....+2004^2005  必能被1+2+3....+2004 所整除。

故得證

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-7-25 02:30 PM 編輯 ]

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作者: M.N.M.    時間: 06-8-6 13:30
想到更簡單的方法了，其實用這乘法公式就好了
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b)
a^5+b^5=(a+b)(a^4-(a^3)b+(a^2)(b^2)-b^3+b^4)
.
.
.
a^k+b^k=(a+b)(a^k-a^(k-1)b+...+b^k)
(k為奇數)
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1+2+3+...+2004=2005*1002

(2005，1002)=1......(1)

1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ... + 2004^2005
=(1^2005+2004^2005)+(2^2005+2003^2005)+....+(1002^2005+1003^2005)

所以2005│1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ．．．+ 2004^2005......(2)

1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ... + 2004^2005
=(1^2005+2003^2005)+(2^2005+2002^2005)+......+(1001^2005+1003^2005)+(1002^2005)+(2004^2005)

因為2004│1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ．．．+ 2004^2005
所以1002│1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ．．．+ 2004^2005.......(3)

由(1)(2)(3)得知1^2005 + 2^2005 +3^2005.....+2004^2005  必能被1+2+3....+2004 所整除

故得證

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