鐵之狂傲

標題: 挑戰43 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 06-7-28 15:20
標題: 挑戰43
1. 已知a、b、c、d、e是-1,0,1這三個數中任意一個數，那麼a+3b+9c+27d+81e所有可能的值中共有多少個正整數?

2.若a為整數，證:6│(a^3)+3(a^2)-4a

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-7-28 10:48 PM 編輯 ]

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作者: aeoexe    時間: 06-7-28 16:32
1.
2.整數部分:
a^3+3a^2-4a=a(a-1)(a+4)
a及a-1中必有一個為2的倍數
設a為3的倍數,6│a^3+3a^2-4a,
設a=3k+1,a-1=3k,所以6│a^3+3a^2-4a
設a=3k+2,a+4=3k+6=3(k+2),所以6│a^3+3a^2-4a
非整數部分就不懂去算了....

[ 本文最後由 aeoexe 於 06-7-28 09:02 PM 編輯 ]

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作者: 神光    時間: 06-7-28 16:59
1. 已知a、b、c、d、e是-1,0,1這三個數中任意一個數，那麼a+3b+9c+27d+81e所有可能的值中共有多少個正整數?

A:121個

我用拼數字的方法作思考.現在5種數字 1,3,9,27,81.用它們運算,
(根據題目可加可減)可以拼出由-121至121的值.
所以正整數的數目為121個

[ 本文最後由 神光 於 06-7-29 04:04 PM 編輯 ]

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作者: aeoexe    時間: 06-7-28 17:51

原文由 神光 於 06-7-28 04:59 PM 發表
1. 已知a、b、c、d、e是-1,0,1這三個數中任意一個數，那麼a+3b+9c+27d+81e所有可能的值中共有多少個正整數?

A:121個

證實為計算錯誤
這是我的算法:
可能的值為3^5=243
如果e為-1,這肯定不是正整數了
因為81>1+3+9+27,所以e只能為0,1
是正整數的值為243*2/3=162(e可能值少了1/3)
e=1,a+3b+9c+27d+81e必為正整數,所以肯定為正整數的數有81(243*1/3)(原因同上)
可能為正整數的值:162-81=81
所以我假設e=0,d必等於0,1(因為27>9+3+1)
d=1,這式肯定為正整數為27(81*1/3)
d=0,c必為0,1因為(9>3+1)
如此類推:
答案為81+27+9+3+1=121

[ 本文最後由 aeoexe 於 06-7-28 09:19 PM 編輯 ]

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作者: 傲月光希    時間: 06-7-28 19:46
版主，你第2題那個a是實數是分數都沒關係嗎?沒有一定要整數?

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作者: ㄚ誌    時間: 06-7-29 02:08
第2題應該用窮舉法吧(?)

1.a^3+3(a^2)-4a=a(a^2+3a-4a)=a(a+4)(a-1)

2.令a=2n.2n+1代入

(1)a=2n>2n(2n+4)(2n-1)=4n(n+2)(2n-1)
設(n+2).(2n-1)皆不為3的倍數
>(n+2)≡(2n-1)≡±1(mpd3) > (n+3)≡(2n)≡2 or 0(mod3)
>(n+3)/2≡n≡1 or 0
>若n≡1  >(n+3)/2≡2≠1 or 0 >假設錯誤
>若n≡0  >(n+3)/2≡3/2≠1 or 0 >假設錯誤
>(n+2).(2n-1)其中有一為3的倍數  又有4n
>推得當a=2n  6│(a^3)+3(a^2)-4a

(2)設a=2n+1 >原式=(2n+1)(4n+2+4)(4n+2-1)=2(2n+1)(n+3)(4n+1)
設n+3≡±1(mod3)> n≡1 or -1
設n≡1>(2n+1)≡0(mod3) >假設錯誤
設n≡-1>(4n+1)≡0(mod3) >假設錯誤
>推得(2n+1).(n+3).(4n+1)其中必有一為3的倍數  又原式=2(......)
>推得當a=2n+1  6│(a^3)+3(a^2)-4a
(得証)

解了20幾分鐘   睡覺去=ˇ=

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作者: 迷糊小書僮    時間: 06-7-29 15:41
1. 已知a、b、c、d、e是-1,0,1這三個數中任意一個數，那麼a+3b+9c+27d+81e所有可能的值中共有多少個正整數?

由於前四個的數字總和比最後一個小
所以由e推回來
當e=1時
不管前面數字為何，總和都是正整數
所以         3*3*3*3*1=81
當e=0時
    d=1時
不管前面數字為何，總和都是正整數
所以        3*3*3*1*1=27
當e=0時
    d=0時
    c=1時
不管前面數字為何，總和都是正整數
所以        3*3*1*1*1=9
當e=0時
    d=0時
    c=0時
    b=1時
不管前面數字為何，總和都是正整數
所以        3*1*1*1*1=3
當e=0時
    d=0時
    c=0時
    b=0時
則a只能為1
所以        1*1*1*1*1=1


81+27+9+3+1=121

總共有121個正整數

配合上面的一起看應該可以看的懂

[ 本文最後由 迷糊小書僮 於 06-7-29 03:43 PM 編輯 ]

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作者: M.N.M.    時間: 06-7-30 12:59
[解答]
1.迷糊小書僮&aeoexe已解出

2.呀誌&aeoexe已證出

在下的證法

a^3+3a^2-4a
=a^3+3a^2+2a-6a
=a(a+1)(a+2)-6a

由於a(a+1)(a+2)為連續3整數，所以必為6的倍數

所以6│a(a+1)(a+2)-6a

故得證

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