鐵之狂傲

標題: 挑戰50 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 06-8-19 15:55
標題: 挑戰50
1.設a、b、c、d都是質數，且a>3b>6c>12d，(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)=1749
求(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)的所有可能值

2.求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-20 04:29 PM 編輯 ]

作者: 神光 時間: 06-8-19 19:06

原文由 M.N.M. 於 06-8-19 03:55 PM 發表
1.設a、b、c、d都是質數，且a>3b>6c>12d，(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)=1749
求(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)的所有可能值

答案是1999嗎?

請反白
(非常不肯定,如果是的,我會補上步驟)

作者: M.N.M. 時間: 06-8-19 22:04

原文由神光於 06-8-19 07:06 PM 發表

答案是1999嗎?

請反白
(非常不肯定,如果是的,我會補上步驟)

正確了

拿出意力打算式吧XDD

作者: 神光 時間: 06-8-20 11:09

原文由 M.N.M. 於 06-8-19 03:55 PM 發表
1.設a、b、c、d都是質數，且a>3b>6c>12d，(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)=1749
求(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)的所有可能值

∵a、b、c、d都是質數,且(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)=1749
∴其中一數必定是2.而a>3b>6c>12d,
∴d=2

根據題意,a^2必定大於1749,
∴a>=43

假設a=47(43之後的質數),
在a>3b>6c>12d的前設下,
(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)會大於1749
∴a的值只會是43,而b<=13

3b>6c>12d
13/2>c>4
∴c=5

由(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)=1749得出b=11

∴(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)=43^2+11^2+5^2+4^2=1999

作者: 傲月光希 時間: 06-8-20 15:28

原文由 M.N.M. 於 06-8-19 03:55 PM 發表
2.求所有正整數a，b使得(a，b)+9+9(a，b)=7ab

我也要搞，a,b等於2跟4對不對(或4跟2)?對的話我把算式寫出

作者: M.N.M. 時間: 06-8-20 16:12

原文由 傲月光希 於 06-8-20 03:28 PM 發表

我也要搞，a,b等於2跟4對不對(或4跟2)?對的話我把算式寫出

姆....

不正確，再努力，這題有三組解

作者: 傲月光希 時間: 06-8-20 16:21

原文由 M.N.M. 於 06-8-20 04:12 PM 發表

姆....

不正確，再努力，這題有三組解

你是說調換的不算一共有三組不同解?
那個(a,b)跟[a,b]是最大公因數跟最小公倍數吧，為什麼(a,b)要跟9(a,b)分開而不合起來?

作者: M.N.M. 時間: 06-8-20 16:31

原文由 傲月光希 於 06-8-20 04:21 PM 發表

你是說調換的不算一共有三組不同解?
那個(a,b)跟是最大公因數跟最小公倍數吧，為什麼(a,b)要跟9(a,b)分開而不合起來?

在下發現自己該去仆了(死

改好了= =a

答案算互換共3組XD

作者: 傲月光希 時間: 06-8-20 16:42

原文由 M.N.M. 於 06-8-20 04:31 PM 發表

在下發現自己該去仆了(死

改好了= =a

答案算互換共3組XD

囧~~竟然打錯QQ
無言的第二行

作者: xvmon123 時間: 06-8-20 17:55
求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a，b)=7ab
又ab=(a，b)[a，b]
設a=dh
b=dk帶入
所以(a，b)=d
      [a，b]=dhk
原式改為d+9dhk+9d=7ddhk
      =>1+9hk+9=7dhk
      =>10=hk(7d-9)
(7d-9)可能為1  2  5  10
(i)(7d-9)=1  不合
(ii)(7d-9)=2  不合
(iii)(7d-9)=5  d=2
(iiii)(7d-9)=10  不合

(iii)當d=2 10=hk(7*2-9)=5hk
               =>2=h*k
         1. h=1  k=2
               帶回原設a=2  b=4
         2. h=2  k=1
               帶回原設a=4  b=2

囧掉了.........想了超久的說

[ 本文最後由 xvmon123 於 06-8-20 05:57 PM 編輯 ]

作者: xvmon123 時間: 06-8-20 18:05
求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab
又ab=(a，b)[a，b]
設a=dh
b=dk帶入
所以(a，b)=d
[a，b]=dhk
d+9dhk+9(dh+dk)=7ddhk
=>1+9hk+9h+9k=7dhk
整理得1=7dhk-9hk-9h-9k
接下來要配對吧.......算到這裡又死了(默

作者: 傲月光希 時間: 06-8-25 23:45
第2題到現在還沒有解出來耶，M大是否要給個過程跟答案了= =?

作者: 迷糊小書僮 時間: 06-8-26 14:00
在等一下下吧
我要再試試看

作者: M.N.M. 時間: 06-8-26 14:11

原文由 xvmon123 於 06-8-20 06:05 PM 發表
求所有正整數a，b使得(a，b)+9+9(a+b)=7ab
又ab=(a，b)
設a=dh
b=dk帶入
所以(a，b)=d
=dhk
d+9dhk+9(dh+dk)=7ddhk
=>1+9hk+9h+9k=7dhk
整理得1=7dhk-9hk-9h ...

算式中別望了(h，k)=1
算到1+9hk+9h+9k=7dhk跟在下一樣呢

接下提示一件事好了，這題有最大值和最小值存在

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-26 02:13 PM 編輯 ]

作者: M.N.M. 時間: 06-8-27 16:55
[解答]
1.神光已解出

在下的
由於4數都是質數，而且1749是奇數，所以必有一數是偶數，d為最小，所以d=2

6c>24
=>c≧5

a>3b
=>a≧3b+1

3b>6c
=>b≧2c+1

a^2-b^2+c^2
≧(3b+1)^2-b^2+c^2
=8b^2+6b+1-c^2
≧8(2c+1)^2+6(2c+1)+1+c^2
=33c^2+44c+15≦1753
=>5≦c<7
=>c=5

a^2-b^2=1728=(2^6)*(3^3)

b≧2c+1=11，a≧3b+1≧34
=>a+b≧45，a-b≧23

因為a、b皆奇數，所以a+b，a-b同為偶數

(a+b)(a-b)=(2^6)*(3^3)
=>a+b=54，a-b=32
=>a=43，b=11

a^2+b^2+c^2+d^2=1999

2.
設(a，b)=d，a=dh，b=dk，(h，k)=1，[a，b]=dhk
(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab
=>d+9dhk+9dh+9dk=7(d^2)hk
=>9+9[(1/h)+(1/k)]+(1/hk)=7d

9<7d≦9+9[(1/1)+(1/1)]+(1/1*1)=28
=>2≦d≦4

當d=2時
5hk-9(h+k)=1
=>25hk-45h-45k=5
=>(5h-9)(5k-9)=86=1*86=2*43
=>(h，k)=(2，19) or (19，2)(∵h、k為整數)
=>(a，b)=(4，38)，(38，4).......(1)

當d=3時
12hk-9(h+k)=1
=>36hk-27h-27k=3
=>[6h-(9/2)][6k-(9/2)]=3+(81/4)
=>(12h-9)(12k-9)=93=1*93=3*31
無整數解......(2)

當d=4時
19hk-9(h+k)=1
=>361hk-171h-171k=19
=>(19h-9)(19k-9)=100
∵h or k大於1時，左式>100
∴(h，k)=(1，1)
=>(a，b)=(4，4)......(3)

由(1)(2)(3)=>(a，b)=(4，38)，(38，4)，(4，4)

作者: 迷糊小書僮 時間: 06-8-27 17:05
看到洋洋灑灑一大篇我囧了

版大啊，當時你解這題解了多久啊

作者: M.N.M. 時間: 06-8-27 17:19

原文由 迷糊小書僮 於 06-8-27 05:05 PM 發表
看到洋洋灑灑一大篇我囧了

版大啊，當時你解這題解了多久啊

兩題加起來用不到一小時吧= =a

第一題只要知道c、d，後面就輕鬆了

第二題是靠解題經驗

這題假設方式在高一蠻常見的，而後面是不定方程的解題經驗

作者: 傲月光希 時間: 06-8-27 18:25
第二題解法終於出現了，沒想到那麼簡單= =，沒想到這裡(囧

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