鐵之狂傲

標題: 2006 TRML [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 06-8-22 16:50
標題: 2006 TRML
http://59.124.78.164/modules/news/article.php?storyid=10

每一題詳解出來聲望+2，比較慢解出但做法不同還是一樣+2的

在下還沒全解出，一起努力吧

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格式:

XX賽 第X題

算式

例
個人賽 第2題
設log[size=-2]2 x=t t屬於R

原式= (12t-8)/(1+4t^2) =k
=>12t-8=k+4kt^2
=>4kt^2-12t+(k+8)=0
因為t為實數，所以D≧0
(-12)^2-4*(k+8)*4≧0
=>1≧k

所以當k=1為最大值

4t^2-12t+9=0
=>t=3/2，3/2

log[size=-2]2 x=3/2
=>x=a=2√2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-22 05:16 PM 編輯 ]

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-22 17:53
個人賽 第1題
16^[(cosx)^2+2(sinx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40

16^[2-(cosx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40

4^[4-2(cosx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40

256/{4^[2(cosx)^2}+4^[2(cosx)^2]=40

Let A=4^[2(cosx)^2].Then

256/A+A=40

A^2-40A+256=0

(A-32)(A-8)=0

We have A=4^[2(cosx)^2]=32 or 8(2^5 or 2^3)

(cosx)^2=5/4(X) or 3/4

cosx=±√3/2

Since　π/2<x<π,we have cosx=-√3/2

So tanx=-√3/3

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-22 05:55 PM 編輯 ]

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-22 18:42
個人賽 第5題
Let ∠BAH=θ, ∠CAH=φ,and AH=h.Then

tanθ=2/h,tanφ=3/h.

tan(θ+φ)=tan(π/4)=(tanθ+tanφ)/1-tanθtanφ=1

(2/h+3/h)/[1-(2/h)*(3/h)]=(5/h)/(1-6/h^2)=1

h^2-5h-6=0

(h-6)(h+1)=0

Therefore we have h=6 or -1(X) and so the area of the triangle ABC is 5*6/2=15.

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作者: 神光    時間: 06-8-22 19:08
個人賽 第四題

　11x+√3y=kx --(1)
{ √3x+13y=ky --(2)
   x^2+y^2=1 --(3)

From (1),
x(11-K)=-√3y --(4)

From (2),
y(k-13)=√3x --(5)

(4)*(5),
xy(11-K)(k-13)=-3xy
11k-143-k^2+13k=-3
-k^2+24K-140=0
k^2-24K+140=0
(k-10)(k-14)=0
∴The maximum value of k is 14

(總覺得有錯誤,x^2+y^2=1沒用上)

[ 本文最後由 神光 於 06-8-22 07:15 PM 編輯 ]

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-22 19:32
團體賽 第1題
line BC^2=8^2+4^2-2*8*4*cos60=64+16-32=48

So BC=4√3.
Therefore ABC is a right triangle.


Thus 外接圓半徑=半個斜邊長=4

這題太少 在多加一題

團體賽 第2題
Let an+A=[(2n-1)/(2n+1)](an-1+A)

Then an=[(2n-1)/(2n+1)]an-1+[(2n-1)/(2n+1)]A-A=[(2n-1)/(2n+1)]an-1+[(-2)/(2n+1)]A

So A=-1/2.

a1-1/2=1/2
a2-1/2=(3/5)(a1-1/2)
a3-1/2=(5/7)(a2-1/2)
            .
            .
            .
an-1/2=[(2n-1)/(2n+1)](an-1-1/2)

Multiplying all of above,we have an-1/2=(1/2)(3/5)(5/7)…[(2n-1)/(2n+1)]=(3/2)[1/(2n+1)].

Then an=(3/2)[1/(2n+1)]+1/2.

Finally,find the minimum of n of an<51/100.

(3/2)[1/(2n+1)]+1/2<51/100
(3/2)[1/(2n+1)]<1/100
1/(2n+1)<1/150
2n+1>150
2n>149
n>74.5

Thus,n=75.

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-22 08:33 PM 編輯 ]

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作者: 神光    時間: 06-8-23 11:15
個人賽 第一題

16^[(cosx)^2+2(sinx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40
2^[4(cosx)^2+8(sinx)^2]+2^[4(cosx)^2]=2^5+2^3

∴{4(cosx)^2=3--(1) & 4(cosx)^2+8(sinx)^2=5--(2)

From (1)&(2),
8(sinx)^2=2
sinx=1/2 or sinx=-1/2
Since π/2<x<π,
∴x=5π/6
∴tanx=tan5π/6=-1/√3

[ 本文最後由 神光 於 06-8-23 11:19 AM 編輯 ]

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作者: 神光    時間: 06-8-23 11:56
個人賽 第7題

已知圓與坐標軸的三個座標為(0,-110) , (-11/2,0) , (10/3,0)
利用圓方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,得出
  12100-110E+F=0 -----(1)
  121-22D+4F=0 ------(2)
  100+30D+9F=0 ----(3)
(2)*9-(3)*4,
簡化後得出 D=13/6
由(2)式得出 F=55/3
由(1)式得出 E=661/6

代入原式,
6x^2+6y^2+13x+661y+110=0

因為未知的交點在y軸上,所以代入x=0以求之
6y^2+661y+110=0

因為y軸上其中一點的座標為-110,該式可寫為
(y+110)(6y-k)=0
6y^2+(-k+660)y-110k=0
∴-k+660=661
    k=1
∴(y+110)(6y-1)=0
y=-110 or y=1/6
∴第四個交點是(0,1/6)

[ 本文最後由 神光 於 06-8-23 06:53 PM 編輯 ]

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作者: M.N.M.    時間: 06-8-23 13:14

原文由 神光 於 06-8-22 07:08 PM 發表
個人賽 第四題

　11x+√3y=kx --(1)
{ √3x+13y=ky --(2)
   x^2+y^2=1 --(3)

過程沒考慮到(1)(2)必過(0，0)

而(3)是為了讓(0，0)不合這條件的

因為(1)(2)能過(0，0)會使k值無限多解

補充在算式中吧
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個人賽 第5題

設AH=x，則AB=√(4+x^2)，AC=√(9+x^2)

(1/2)*[√(4+x^2)]*[√(9+x^2)]sin45° =(1/2)*(2+3)*x
=>x=6 or 1(1不合)

(1/2)*5*6=15

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作者: aeoexe    時間: 06-8-23 19:50
團體賽 第五題
設x=k^2
2^n+2^11+2^8=k^2
2^(n-8)+2^3+1=k^2/2^8
2^(n-8)+2^3=k^2/2^8-1
2^3(2^(n-11)+1)=(k/16+1)(k/16-1)
可得出以下方程:
2^3=k/16+or-1(1)
2^(n-11)+1=k/16-or+1(2)
=>2^(n-11)=5 or 2^(n-11)=9=>無整數解
2^2=k/16+or-1(1)
2*(2^(n-11)+1)=k/16-or+1(2)
=>2^(n-11)=0 or n=12 =>n=12
2=k/16+or-1(1)
2^2*(2^(n-11)+1)=k/16-or+1
=>2^(n-11)=-1 or 2^(n-11)=0=>無整數解
1=k/16+or-1
2^3*(2^(n-11)+1)=k/16-or+1
=>2^(n-11)=-7/8 or 2^(n-11)=-3/8=>無整數解
得n=12
(其實這題M.N.M大也發過類似的...如果記得的話也能算)

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-23 22:41
個人賽　第4題
11x+√3y=kx...(1)→(11-k)x+√3y=0
√3x+13y=ky...(2)→√3x+(13-k)y=0
x^2+y^2=1...(3)

By (1) and (2),we know that there is a solution (0,0).

Applying (3) to (1) and (2) gives that the system has more than one solution.

Using determinant,we know that ︱11-k  √3︱
　　　　　　　　　　　　　　　　　︱　　　　　︱=0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　︱√3  13-k︱
=>  (11-k)(13-k)-3=0
=>  143-24k+(k^2)-3=0
=>  (k-10)(k-14)=0

So the maximum of k is 14.

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-24 11:14
個人賽 第3題
Since nm^2=14+n+m^2
1-n-m^2+nm^2=15
(1-m^2)(1-n)=15,

we have 1-m^2=±1 or ±3 or ±5 or ±15
-m^2=0 or -2 or 2(X) or -4 or -6 or 4(X) or 14(X) or -16.
m^2=0 or 2(X) or 4 or 6(X) or 16.
m=0 or ±2 or ±4.
Thus,(m,n)=(0,-14),(2,6),(-2,6),(4,2),(-4,2)

Therefore,the maximum of m+n is 8.

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作者: M.N.M.    時間: 06-8-25 11:43
個人賽7

已知三點為(0,-110) , (-11/2,0) , (10/3,0)

設在Y軸上的另一點為(0，a)
根據圓內冪性質
(11/2)*(10/3)=110a
=>a=1/6

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-25 11:46

原文由 M.N.M. 於 06-8-25 11:43 AM 發表
個人賽7

已知三點為(0,-110) , (-11/2,0) , (10/3,0)

設在Y軸上的另一點為(0，a)
根據圓內冪性質
(11/2)*(10/3)=110a
=>a=1/6

圓內冪性質是啥，我不太懂(謎：其實是你笨吧)

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作者: M.N.M.    時間: 06-8-25 12:36

原文由 傲月光希 於 06-8-25 11:46 AM 發表

圓內冪性質是啥，我不太懂(謎：其實是你笨吧)

在圓周上有4點A、B、C、D
任一兩點連線，而兩線段有交點時使用的
例如
A(0,-110) , B(-11/2,0) , C(10/3,0)

設在Y軸上的另一點為D(0，a)

而BC與AC交於K點

則BK*CK=AK*DK

而這題是剛好可用(0，0)做為交點算的

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作者: 神光    時間: 06-8-25 13:26

原文由 M.N.M. 於 06-8-25 12:36 PM 發表

在圓周上有4點A、B、C、D
任一兩點連線，而兩線段有交點時使用的
例如
A(0,-110) , B(-11/2,0) , C(10/3,0)

設在Y軸上的另一點為D(0，a)

而BC與AC交於K� ...

Orz...
原來有這解法.
害我用圓方程解了大半天...

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-26 20:24
個人賽 第6題
2006x+y=4xy(x^2+y^2)......(1)
2006x-y=2xy(x^2-y^2)......(2)
(1)+(2)
=> 4012x=2xy[2(x^2+y^2)+(x^2-y^2)]
　　　　　=2xy(3x^2+y^2)
=> 2006=y(3x^2+y^2)=3yx^2+y^3......(3)
(1)-(2)
=> 2y=2xy[2(x^2+y^2)-(x^2-y^2)]
　　　=2xy(x^2+3y^2)
=> 1=x(x^2+3y^2)=x^3+3xy^2......(4)
(3)-(4)
=> 2005=(y^3-x^3)+3yx^2-3xy^2
　　　　=(y^3-x^3)-3xy(y-x)
　　　　=(y-x)(x^2+xy+y^2)-3xy(y-x)
　　　　=(y-x)(x^2-2xy+y^2)
　　　　=(y-x)(x-y)^2
　　　　=-(x-y)^3
=> x-y=-(2005)^(1/3)

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-27 09:36
個人賽 第8題
a+b+c+d+e=8 => a+b+c+d=8-e
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 => a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2

Using Cauchy-Schwarz Inquivality,we have
(a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)≧(a+b+c+d)^2
=> (16-e^2)*4≧(8-e)^2
=> 64-4e^2≧64-16e+e^2
=> -16e+5e^2≦0
=> e(5e-16)≦0
=> 0≦e≦16/5

Thus,the sum of the maximum and minimum of e is 0+16/5=16/5.

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-27 09:43 AM 編輯 ]

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-27 23:06
團體賽 第3題
設大圓半徑R，小圓半徑r，則
__
OO'=R-r=r-R+5
=> R-r=5/2...(1)
　　　__
r^2=(OO')^2+(R-3)^2
(1)
＝> (R-5/2)^2=25/4+(9-6R+R^2)
=> 25/4-5R+R^2=25/4+9-6R+R^2
=> -5R=9-6R
=> R=9...(2)
(2)
＝>r=R-5/2=9-5/2=13/2

R+r=9+13/2=31/2

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作者: 傲月光希    時間: 06-8-28 10:54
個人賽 第7題
Since y=(3x-10)(2x+11)=6x^2+13x-110,the circle passes through A(0,-110),B(10/3,0),C(-11/2,0).

First,the the perpendicular bisector(中垂線) of line AB must pass the center of the circle,so the x-coordinate of the middle point of line AB must be the same as that of the circle center.

(10/3,0)+(-11/2,0)
------------------ =(-13/12,0).
　　　　2
Second,we set the fourth point passed through by the circle on the y-axis D(0,a).

The the perpendicular bisector of line AD must pass through the center,too.So the y-coordinate of the middle point is also the same as that of the center point.

(0.a)+(0,-110)
-------------- =(0,(a-110)/2).
　　　2
Thus,we have the center point of the circle (-13/12,(a-110)/2).

Let the radius be r.Then r^2=(-13/12-10/3)^2+[(a-110)/2-0]^2=(-13/12-0)^2+[(a-110)/2+110]^2
=> 2*(-13/12)*(-10/3)+(10/3)^2=2*110*[(a-110)/2]+110^2
=> 65/9+100/9=110a-110^2+110^2
=> 110a=165/9
=> a=(165/9)*(1/110)=1/6

Therefore,the fourth point is (0,1/6).

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作者: 太公望    時間: 06-9-2 16:28
個人賽第3回第I-5
2cotX=3cot(45-X)
2cosX/sinX=3(cos45cosX+sin45sinX/sin45cosX-cos45sinX)
2cosX/sinX=3(cosX+sinX/cosX-sinX)
2cosX^2-2sinXcosX=3cosXsinX+3sinX^2
2cosX^2-5sinXcosX-3sinX^2=0
(2cosX+sinX)*(cosX-3sinX)=0
cosX=3sinXor-1/2sinX
X<90
cosX=3sinX cotX=3
ABC=5*3/2=15/2

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作者: 傲月光希    時間: 06-9-4 00:18

原文由 太公望 於 06-9-2 04:28 PM 發表
個人賽第3回第I-5
2cotX=3cot(45-X)
2cosX/sinX=3(cos45cosX+sin45sinX/sin45cosX-cos45sinX)
2cosX/sinX=3(cosX+sinX/cosX-sinX)
2cosX^2-2sinXcosX=3cosXsinX+3sinX^2
2cosX^2-5sinXcosX-3sinX^2=0
(2cosX+sinX)*(cosX-3sinX)=0
cosX=3sinXor-1/2sinX
X<90
cosX=3sinX cotX=3
ABC=5*3/2=15/2

你答案錯掉囉，最好在檢查一下哪邊算錯
TRML的最下面都會有解答

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作者: 太公望    時間: 06-9-6 19:43
之前那題函數值忘了*2所以寫錯了@@..

團體賽第6題
設X為角平分之一角
DB=cosX
作DK垂直AB(就是MBD.ABD.DCB的高)
則DK=cosXsinX
設BC=Y
面積相等
1/2*Y*2*sin2X=(Y+2)sinXcosX*1/2
4Y=Y+2 Y=2/3
(這題沒有圖好像不太好懂....)
團體賽第8題

α β>2
(α-2)(β-2)>0
αβ-2(α+β)+4>0
5-a+2a+4>0
a>-9
D>=0
a^2-4(5-a)>=0
a>=-2+2√6 or a<=-2-2√6
-9<a<=-2-2√6

團體賽第9題
sinX>cosY
x>=90-y
x+y>=90
x+y<=兀
cos(X+Y)-2sin(X+Y)=√5*sin(X+Y+N),sinN=1/√5,cosN=-2/√5
兀/2<N<兀,兀<x+y+N<2兀
當x+y=兀 原式=√5sin(N+兀)=-√5sinN=-1

剩的都不會寫.....大家加油吧!!

[ 本文最後由 太公望 於 06-9-6 07:46 PM 編輯 ]

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