鐵之狂傲

標題: 急件~~有關科西不等式的問題 明天需要 [列印本頁]

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作者: 大米龜    時間: 06-9-4 21:49
標題: 急件~~有關科西不等式的問題 明天需要
明天老師要考我們班一題~麻煩哪一位大大能幫我指點某個小迷津

若x,y屬於R  且 x^2+y^2=4,則3x+2y支最大值為2根號13

===>  求此時之數對(x,y)數對?

迷之問~~   -2根號13 ≦ 3x+2y ≦ 2根號13

             等號成立時  <=>  x/3=y/2=k     <=(就是這裡不懂)

             x=3k,y=2k 代入 3x+2y=2根號13
             最後就的到此數對了~~麻煩嚕  指示一下

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作者: ＊軍曹＊    時間: 06-9-4 22:07

原文由 大米龜 於 06-9-4 09:49 PM 發表
明天老師要考我們班一題~麻煩哪一位大大能幫我指點某個小迷津

若x,y屬於R  且 x^2+y^2=4,則3x+2y支最大值為2根號13

===>  求此時之數對(x,y)數對?

迷之問~~   -2根號13 ≦ 3x+2y ≦ 2根號13

             等號成立時  <=>  x/3=y/2=k     <=(就是這裡不懂)

             x=3k,y=2k 代入 3x+2y=2根號13
             最後就的到此數對了~~麻煩嚕  指示一下

柯西不等式(n=2)
有兩個向量u=(u1,u2),v=(v1,v2)，則此兩向量必滿足((u1)^2+(u2)^2)((v1)^2+(v2)^2)≧(u1v1+u2v2)^2
=>(u^2)*(v^2)≧(u．v)^2=(∣u∣∣v∣cosθ)^2，其中θ式uv間的夾角，-1≦cosθ≦1

由你的題目知，(x^2+y^2)(3^2+2^2)≧(3x+2y)^2　(紅色是重點)
=>4*(9+4)≧(3x+2y)^2
=>52≧(3x+2y)^2
=>-2√13≦3x+2y≦2√13
=>最大值2√13

設向量u=(x,y),v=(3,2)，當等號成立時，u跟v互為平行向量，也就是說兩向量會相差0度或180度，且u跟v向量僅會相差一個倍數k(更正)
=>u=kv
=>(x,y)=k(3,2)=(3k,2k)
=>x=3k,y=2k
=>x/3=y/2=k(分量間也是相差k倍)
=>x=3k,y=2k
代入3x+2y
=>3(3k)+2(2k)=9k+4k=13k=2√13
=>k=2√13/13

有問題再跟我說

[ 本文最後由 ＊軍曹＊ 於 06-9-5 12:21 PM 編輯 ]

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作者: 傲月光希    時間: 06-9-5 01:01
幫你補充柯西不等式的證明(反正無聊= =)(謎：其實他是來賺文章數的)

有分高中跟大學兩種，高中我忘了(毆)，我就用大學證法好了= =a

pf:


由附圖可以看到，u,v是兩根向量，而且u,v之間有夾一個角度
其中可以看到u-αv跟v是互相垂直的。因為我們只討論在實數座標系的柯西不等式，因此α是實數常數
１、
若v=O，則∣u∣∣v∣=∣u∣*0=0=u．Ｏ=u．v，得證(這裡O為零向量)
２、
若v≠O，則
0≦(u-αv)．(u-αv)  (因為一根向量自己內積自己必大於等於0，自己內積自己就是那根向量的長度平方)
　=(u．u)-(u．αv)-(αv．u)+(α*α)(v．v)
　=(︱u︱^2)-(u．αv)-(u．αv)+(α^2)(∣v∣^2)
　=(∣u∣^2)-2α(u．v)+(α^2)(∣v∣^2)

取α=(u．v)/(∣v∣^2)　(為什麼？)

則0≦(∣u∣^2)-2[(u．v)/(∣v∣^2)](u．v)+{[(u．v)^2]/(∣v∣^4)}(∣v∣^2)
　　=(∣u∣^2)-2[(u．v)^2]/(∣v∣^2)+[(u．v)^2]/(∣v∣^2)
　　=(∣u∣^2)-[(u．v)^2]/(∣v∣^2)
=>∣u∣^2≧[(u．v)^2]/∣v∣^2
=>(∣u∣^2)(∣v∣^2)≧(u．v)^2
=>∣u∣∣v∣≧(u．v)......得證

接下來求α

由圖知道(u-αv)．v=0
=>(u．v)-α(v．v)=0
=>(u．v)-α∣v∣^2=0
=>α∣v∣^2=u．v
=>α=(u．v)/(∣v∣^2)......得證

柯西不等式可以推廣到n維空間，而且不只是我們所認識的2維、3維的實數空間會有內積，連複數空間，或是我們自己所定出來的一個內積空間，都會符合柯西不等式

一個可內積的空間一定是一個向量空間，但是一個向量空間不一定是內積空間

所謂的內積空間(Inner Product Space)就是任何這個空間裡的向量間的內積都會有定義，而且滿足歐基里德內積(<,>=歐基里德內積)，而且它滿足以下條件：
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　  _____
(1)對所有的向量u,v在一內積空間，<u,v>=<v,u> (上面那條槓叫做"罷"，就是共軛的意思)
(2)<u+v,w>=<u,w>+<v,w>
(3)<αu,v>=α<u,v>，對所有α為常數
(4)對所有內積空間裡的向量u，<u,u>=∥u∥^2≧0；而且<u,u>=0若且唯若u=O(若且為若=充要條件)(∥u∥就是u的norm，也就是u向量的長度)

這些等你大學線性代數會有詳細解說，這裡便不再多說

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-9-5 12:25 PM 編輯 ]

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