鐵之狂傲

標題: 挑戰58 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 06-9-30 22:06
標題: 挑戰58
1.設S={1，2，3，...，499，500}從S中任曲4個不同的數，按照從小到大的順序排列成一個公比為正整數的等比數列，求這樣的等比數列的個數

2.直線方程Ax+By=0的係數A，B可從0，1，2，3，6，7這6個數字中任選兩個不同的值，則這些方程可表示的不同直線的條數是_____

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作者: 傲月光希    時間: 06-9-30 23:25

原文由 M.N.M. 於 06-9-30 10:06 PM 發表
1.設S={1，2，3，...，499，500}從S中任曲4個不同的數，按照從小到大的順序排列成一個公比為正整數的等比數列，求這樣的等比數列的個數

首先我們來看看這個集合中所取的等比數列的公比的範圍應該是多少

很顯然的可以看出公比最小應該為2(若公比為1，則此數列的4個數都一樣，不可能)

然後，我們假設有一個數列能使得第一項為1，第四項為500，公差為r

則第四項跟第一項之間的關係應該可以寫成500=1*r^(4-1)=r^3
=> r=500^(1/3)

因為公比必須為正整數，而此假設的吹大公比介於7<500^(1/3)<8之間

因此我們可以得知從這個集合中所取的數列公比r介於2≦r≦7

接下來我們一個個討論可能的數列個數，將情形用一個順序討論

r=?　　　可能數列
r=2 => {1,2,4,8},{2,4,8,16},{3,6,12,24}... => 看出第四項為8的倍數=>到最大數列為{62,124,248,496}共有62個
r=3 => {1,3,9,27},{2,6,18,54}...=>第四項為27倍數=>到最大數列為{18,54,162,486}有18個
r=4 => {1,4,16,64},{2,8,32,128}...=>第四項為64的倍數=>到最大數列{7,28,112,448}有7個

此規律可看出當公比為r時可能數列有[500/r^3]，這裡的[．]為高斯符號

故可取等比數列共有[500/2^3]+[500/3^3]+...+[500/7^3]=62+18+..+1=94個

2.直線方程Ax+By=0的係數A，B可從0，1，2，3，6，7這6個數字中任選兩個不同的值，則這些方程可表示的不同直線的條數是_____

A，B可取的組合個數為C(6,2)*2=30 (因為可調換所以乘以2)
由此看來應該會有30條直線，但是有些組合會造成AB兩數公因數不為1的情形因而會跟另外某組合有重複的情況

因此我們要來討論哪些組合會造成這種情況

1.若(A,B)=(2,6)or(6,2)，則會跟(A,B)=(1,3)or(3,1)組合的線同一條，因此扣除這兩個組合

2.若(A,B)=(3,6)or(6,3)，則會跟(A,B)=(1,2)or(2,1)組合的線同一條，因此扣除這兩種組合

3.若(A,B)=(0,1)or(0,2)or...or(0,7)，則都是同一條，所以扣掉4種組合
4.若(A,B)=(1,0)or(2,0)or...or(7,0)，則都是同一條，因此扣除4種組合

由1.2.3.4.，共有30-2-2-4-4=30-12=18條

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-9-30 11:54 PM 編輯 ]

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