鐵之狂傲

標題: 挑戰70(寒假活動 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 07-1-29 12:49
標題: 挑戰70(寒假活動
此主題依然是開放的

有新解法的話可以繼續提供

不過聲望恢復成跟往常一樣最多+2

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第一名 turnX       10題

第二名 ‧幻星"    5題

第三名 tzhau       3題

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1~12聲望+4
13~25聲望+5

一次回覆最多兩題(因為一篇最多只能給聲望+10
解法與先解出的解法相同但敘述不同也可
無詳解不能算對
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這是總結算時
加算的↓
第一名鐵幣1000，聲望+50
第二名鐵幣500，聲望+30
第三名鐵幣250，聲望+10
----------------------------------------------------
有疑問請到
https://www.gamez.com.tw/thread-294715-1-1.html
發問
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活動結束~~~~~~~~~~~XD
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1.求不定方程(x^3)-(y^3)=xy+61的正整數解
#21

另解:
顯然x>y
設x=y+d
(y+d)^3 -y^3 =(y+d)y+61
=>3dy^2 +3yd^2 +d^3=(y+d)y+61
=>(3d-1)y^2 +d(3y-1)y+d^3=61
d^3<61
d≦3

(i)d=1時
2y^2 +2y+1=61
=>y=5代入(x^3)-(y^3)=xy+61
=>x=6

(ii)d=2時
5y^2 +10y+8=61
無正整數解

(iii)d=3時
8y^2 +24y+ 27=61
無正整數解

∴(x，y)=(6，5)

2.設a>b>0，求(a^2)+ {1/[b(a-b]}的最小值
#9

3.a+b+c=10，a、b、c均為正數，求abc+ac+ab+bc的最大值
#7

另解:
abc+ac+ab+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1
=(a+1)(b+1)(c+1)-11
≦{[(a+1)+(b+1)+(c+1)]/3}^3 -11
=(13/3)^3 -11
=1900/27

4.已知ABCD是一個半徑為R的圓內接四邊形，AB=12，CD=6，分別延長AB和DC，它相交於P，且BP=8，∠APD=60°，則R=?
#2

5.在△ABC中，AB=33cm，AC=21cm，BC=m cm，m為整數，又在AB上可找到D，在AC上可找E，使AD=DE=EC=n cm，n為整數，問m可取那些值?
圖如附件1
cos∠A=[(AB^2)+(AC^2)-(BC^2)]/(2*AB*AC)=[1530-(m^2)]/[2*(3^2)*7*11]
=[(AD^2)+(AC^2)-(DE^2)]/(2*AD*AE)=[(n^2)+(21-n)^2 –(n^2)]/[2n(21-n)]
=(21-n)/(2n)

=>n(2223-m^2)=(3^3)*(7^2)*11

由於m、n為正整數
∴n│(3^3)*(7^2)*11
又EC<AC，AD+DE>AE
7<n<21
∴n=9 or 11

(i)若n=9
m^2=2223-3*(7^2)*11=606
m不為正整數，不合

(ii)若n=11
m^2=2223-(3^3)*7=900
m=30

∴m=30

6.若函數f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)在區間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]
顯然f(x)之最大值為13/2

(i)當a<b≦0時，f(x)=在區間[a，b]上單調遞增
f(a)=2a，f(b)=2b
(-1/2)a^2 +(13/2)=2a
(-1/2)b^2 +(13/2)=2b
顯然a，b為(-1/2)x^2 -2x +(13/2)=0的兩個不同實根
a+b=-2
ab=-13/2
顯然a，b異號
不合

(ii)當a<0<b，f(x)在[a，0]遞增，f(x)在[0，b]遞減
f(0)=2b，min{f(a)，f(b)}=2a
f(0)=2b
=>b=13/4
f(a)=2a
(1/2)x^2 +(13/2)=2a
=>a=-2-17^(1/2)
(a，b)=(-2-17^(1/2)，13/4)

(iii)當0≦a<b時，f(x)在[a，b]上遞減
f(a)=2b，f(b)=2a
(-1/2)a^2 +(13/2)=2b
(-1/2)a^2 +(13/2)=2a
=>(a，b)=(1，3)

∴(a，b)=(1，3)，(-2-17^(1/2)，13/4)

7.求正整數k，n，使1!+2!+...+n!=k^2
#8

8.A種和B種藥片在外觀上完全一樣，工廠在生產時誤將它們裝在一樣的瓶子裏，但每個瓶子只裝一種藥，已知B藥片每片比A藥片重10毫克，每瓶裝藥150片。問:一次天平最多能分辨出多少瓶藥片?
從編號1至8的8個瓶子中分別取出1，2，2^2，2^3，…，2^7=128片藥
1+2+(2^2)+…+(2^7)=(2^8)-1=255
在天平上秤出總種量，這255片藥的總重比255片A種藥片總重相比，多出
10毫克為一單位，將多出的單位數寫成2進制數，如某位數字為0，則編號
為這位數的瓶子裝的是A藥片，否則裝的是B藥片

∵2^8=256>150
∴最多能分辨8瓶

9.有多少個完全平方數會是乘積1!*2!*3!*...*9!的因數?
#3

10.已知有5個正整數，其算數平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值有幾個?
#12
#13

11.已知x和y都是正整數，它們的常用對數的尾數之和等於1，(x^2)y的常用對數
的首數是3。求x，y的值
令log x=a+p，log y=b+q，a、b為正整數或0，0≦p＜1，0≦q＜1，p+q=1

log (x^2)y=2logx+logy=2(a+p)+q=(2a+b+1)+p

2a+b+1=3
2a+b=2

(a，b)=(0，2)，(1，0)

若(a，b)=(0，2)，則x<10
log xy=a+b+p+q=0+2+1=3
xy=1000
(x，y)=(2，500)，(4，250)，(5，200)，(8，125)

若(a，b)=(1，0)，則y<10
(x，y)=(50，2)，(25，4)，(20，5)

∴(x，y)=(2，500)，(4，250)，(5，200)，(8，125)，(50，2)，(25，4)，
(20，5)

12.設x，y，z是三個不同的互質的自然數，且任意兩數之和能被第三數整除，試
求這三個數
#15

13.設a、b、c均為整數，若a+b+c=3，(a^3)+(b^3)+(c^3)=3，求│a│+│b│+│c│之最大值
#27

另解法1:
用(a，b，c)=(1，1，1)代入顯然是一組解
a+b+c=3 =>a+b=3-c =>c=3-(a+b)
(a^3 +b^3 )+c^3=3
=>(a+b)[(a+b)^2 -3ab]+c^3 -27=-24
=>(3-c)[(3-c)^2 -3ab]+(c-3)(c^2 +3c+9)=-24
=>(3-c)(3ab+9c)=24
=>(3-c)(ab+c)=8

(3-c)│8，a+b=3-c=±1，±2，±4，±8，
=>c=4，2，5，1，7，-1，11，-5代入(3-c)(ab+c)=8
=>ab=-12，6，-9，3
=>(a，b)=(4，-3)，(3，-4)，(-12，1)，(12，-1)，(1，-12)，(-1，12)，
(1，6)，(6，1)，(2，3)，(3，2)，(-1，9)，(1，-9)，(9，-1)，(-9，1)，(3，-3)，(-3，3)，(3，1)，(1，3)代入a+b+c=3

∴ (a，b，c)=(4，-5，4)，(4，4，-5)，(-5，4，4)，(1，1，1)
∴│a│+│b│+│c│之最大值=4+5+4=13

另解法2:
a^3 +b^3+ c^3 -3abc
=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)
=3[(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)]

3-3abc=3[(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)]
=>1-abc=9-3(ab+bc+ca)
=>abc-3(ab+bc+ca)+8=0
=>abc-3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)-27=-8
=>(a-3)(b-3)(c-3)=-8
=>(a,b,c)=(-5,4,4),(4,-5,4),(4,4,-5),(1,1,1)

∴│a│+│b│+│c│之最大值=4+5+4=13

14.求(15+√220)^19 + (15+√220)^82的個位數
#11

15.若
[(x^3)/(2^3-1^3)] + [(y^3)/(2^3-3^3)] + [(z^3)/(2^3-5^3)] +
[(w^3)/(2^3-7^3)] = 1
[(x^3)/(4^3-1^3)] + [(y^3)/(4^3-3^3)] + [(z^3)/(4^3-5^3)] +
[(w^3)/(4^3-7^3)] = 1
[(x^3)/(6^3-1^3)] + [(y^3)/(6^3-3^3)] + [(z^3)/(6^3-5^3)] +
[(w^3)/(6^3-7^3)] = 1
[(x^3)/(8^3-1^3)] + [(y^3)/(8^3-3^3)] + [(z^3)/(8^3-5^3)] +
[(w^3)/(8^3-7^3)] = 1
則 x^3 + y^3 + z^3 + w^3 =？
觀察得知
2^3,4^3,6^3,8^3是關於t的方程式
x^3/(t-1^3)+y^3/(t-3^3)+z^3/(t-5^3)+w^3/(t-7^3)=1的根
通分化簡成
(t-1^3)(t-3^3)(t-5^3)(t-7^3)-x^3(t-3^3)(t-5^3)(t-7^3)
-y^3(t-1^3)(t-5^3)(t-7^3)-z^3(t-1^3)(t-3^3)(t-7^3)
-w^3(t-1^3)(t-3^3)(t-5^3)=0

這是t的四次多項式方程式，最多有四個根，就是2^3,4^3,6^3,8^3
所以方程式等價於(t-2^3)(t-4^3)(t-6^3)(t-8^3)=0
比較兩式t^3項係數
-1^3-3^3-5^3-7^3-x^3-y^3-w^3-z^3=-2^3-4^3-6^3-8^3
=>x^3+y^3+w^3+z^3=304

16.設f(x)是一個98次的多項式，使得
f(k)=1/k       ，k=1，2，3，...99
求f(100)的值
#17

17.若m，n均為正整數，則[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的最大值為?
#32

另解:
[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}
=[(mn+n+m+1)-(m+n+1)]/[(m+1)(n+1)(m+n+1)]
=mn/[(m+1)(n+1)(m+n+1)]

由於分子比較不複雜，可用倒數後求最小值再倒數回來
[(m+1)(n+1)(m+n+1)]/mn
=m+n+3+(m/n)+(n/m)+(2/n)+(2/m)+1/(mn)

(m/n)+(n/m) ≥2√[(n/m)(m/n)]=2
當(m/n)+(n/m) =2時，m=n

m+n+3+(m/n)+(n/m)+(2/n)+(2/m)+1/(mn)
≥2m+5+(4/m)+[1/(m^2)]=k

m=n=1
k=12

m=n=2時
k=45/4

m=n=3時
k=11+(4/3)+(1/9)>45/4

m=n=4時
k=13+1+(1/16)> 11+(4/3)+(1/9)
顯然n≥3時，k>45/4
即k=45/4有最小值
{[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]} ≦4/45

∴m=n=2時，有最大值{[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}=4/45

18已知a，b，c，d為非零實數，f(x)=(ax+b)/(cx+d)，x為實數，且f(19)=19
，f(97)=97，若當x不等於-d/c時，對於任意實數x，均有f[f(x)]=x，試求出
f(x)值域以外的唯一數
f[(f(x)]={a* [(ax+b)/(cx+d)] +b}/{c* [(ax+b)/(cx+d)] +d}=x
=>(a+d)cx^2 +(d^2 -a^2)x-b(a+d)=0
∵x≠-d/c
∴a+d=0，d^2 -a^2=0
=>d=-a

f(19)=19，f(97)=97，19、97為(ax+b)/(cx+d)=x的兩根
(ax+b)/(cx+d)=x
=>cx^2 +(d-a)x-b=0

(a-d)/c=97+19=116，-b/c=1843，又d=-a
∴a=58c，b=-1843c，d=-58c

f(x)=(58x-1843)/(x-58)

∵分母≠0
∴x=58是f(x)值域外的唯一數

19.已知x，y∈[-π/4，π/4]，a為實數，且
(x^3)+sinx-2a=0
4(y^3)+sinycosy+a=0
求cos(x+2y)的值
#23

20.設n為正整數，若n^3的末三位數字是888，則n的最小值為何?
#4

21.斯特凡妮(Stephanie)在商店裏想買10分錢的巧克力，在她的錢包裏有12枚硬幣，1分，、2分、5分和10分的各有三枚，她隨機地從錢包中取出三枚硬幣。她取出的硬幣至少夠付巧克力的錢的概率是多少?
#5
#29

22.設k為給定的正整數，試求最小正整數n，使得對任意n個整數，其中總存在兩個整數，它們的和或差被2k整除
#14

23.如果m和n是正整數，滿足
(m+n)/[(m^2)+mn+(n^2)]=4/49
則m+n=?
#22
#24
#31

24.n是一個正整數。關於x，y，z的方程2x+2y+z=n有28組正整數解，那麼n為何?
#19
#33

另解
(i)設n為2p，p為正整數，則z只能為偶數，即z可以為2，4，6...，2p-4
(∵4≦2x+2y)
則x+y可以為p-1，p-2，p-3，...，2
若x+y=k，則(x，y)有H(2，k-2)=K-1
∴解的組數有(p-2)+(p-3)+(p-4)+...+1=(p-1)(p-2)/2=28
=>p=9 or-6(-6不合)
n=2p=18

(ii)設n為2p+1，p為正整數，則z只能為奇數，即z可以為1，3，5，...，2p-3
(∵4≦2x+2y)
則x+y可以為p，p-1，p-2，...，2
若x+y=k，則(x，y)有H(2，k-2)=K-1
∴解的組數有(p-1)+(p-2)+(p-3)+...+1=(p-1)p/2=28
=>p=8 or-7(-7不合)
n=2p+1=17

∴n=17 or 18

25.滿足mn≧0，(m^3)+(n^3)+99mn=33^3的有序整數對(m，n)有多少對?
#20

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-23 07:36 PM 編輯 ]

作者: 天下聖凱 時間: 07-1-29 14:39
4.由圓內接四邊形對角互補可知△PBC～△PDA(∠PCB=∠PAD，∠PBC=∠PDA)

∴PB:PD=PC:PA 8:(PC+6)=PC:20

∴PC=16

由PB=8，PC=16，∠BPC=60°可知△PBC為一直角三角形且∠PBC為直角

得知BC=8√3 又△ABC亦為直角三角形，∠ABC為直角

故AC=4√21=圓直徑

故R=AC/2=2√21#

[ 本文最後由天下聖凱於 07-1-29 02:43 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-1-29 15:03
9.有多少個完全平方數會是乘積1!*2!*3!*...*9!的因數?
1!=1
2!=1*2
3!=1*2*3
4!=1*2*3*4
5!=1*2*3*4*5
6!=1*2*3*4*5*6
7!=1*2*3*4*5*6*7
8!=1*2*3*4*5*6*7*8
9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9
1!*2!*3!*...*9!=2^8*3^7*4^6*...*9
1!*2!*3!*...*9!=2^30*3^13*5^5*7^3
所以因數為完全平方數有
(30/2+1)*(12/2+1)*(4/2+1)*(2/2+1)
=16*7*3*2=672
Ans:672個

作者: tzhau 時間: 07-1-29 15:15
標題: 20.
20.  (i)從個位數來看，唯有2的三次方才會成為8 　　　所以個位數為2
　　
      (ii)從十位數來看，設十位數為x，則(10x +2)^3後兩位也為88

      (10x + 2)^3=1000x^3+600x^2+120x+8.................x為4或9

   (iii)當x=4時  ，設百位數字為y，則(100y+42)^3後三位也為888
　　　　
               (100y + 42)^3=1000000y^3+1260000y^2+529200y+74088...........y為4或9

         當x=9時  ，設百位數字為y，則(100y+92)^3後三位也為888

         (100y + 92)^3=1000000y^3+2760000y^2+2539200y+778688...........y為1或6


      因此滿足題意的數字有442、942、192、692....    最小值為192

作者: turnX 時間: 07-1-29 15:38
21.斯特凡妮(Stephanie)在商店裏想買10分錢的巧克力，
在她的錢包裏有12枚硬幣，1分，、2分、5分和10分的各有
三枚，她隨機地從錢包中取出三枚硬幣。
她取出的硬幣至少夠付巧克力的錢的概率是多少?

有以下幾種組合方式

10+10+10  C(3,3)=1
10+10+5 C(3,2)*C(3,1)=9
10+10+2 C(3,2)*C(3,1)=9
10+10+1 C(3,2)*C(3,1)=9
10+5+5 C(3,2)*C(3,1)=9
10+5+2 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)=27
10+5+1 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)=27
10+2+2 C(3,2)*C(3,1)=9
10+2+1 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)=27
10+1+1 C(3,2)*C(3,1)=9
5+5+5    C(3,3)=1
5+5+2       C(3,2)*C(3,1)=9
5+5+1    C(3,2)*C(3,1)=9

可能情況有(1+9+9+9+9+27+27+9+27+9+1+9+9)=155

全部情況 C(12,3)=220

概率 155/220=31/44

Ans:31/44

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-29 03:43 PM 編輯 ]

作者: xvmon123 時間: 07-1-29 16:07
3.a+b+c=10，a、b、c均為正整數，求abc+ac+ab+bc的最大值
a+b+c/3>=3次根號abc
=> abc<=1000/27
[(根號a)平方+(根號b)平方+(根號c)平方][[(根號c)平方[(根號a)平方[(根號b)平方]>={ac+ab+bc}平方
=> ac+ab+bc<=10
所求為10+1000/27??

[ 本文最後由 xvmon123 於 07-1-29 09:34 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-1-29 16:17
3.a+b+c=10，a、b、c均為正整數，求abc+ac+ab+bc的最大值
利用算術平均>=幾何平均及柯西不等式
(a+b+c)/3>=開3方(abc)
10/3>=開三方(abc)
1000/27>=abc ------------(1)所以abc最大1000/27
(a^2+b^2+c^2) * (1^2+1^2+1^2) >= (a+b+c)^2
(a^2+b^2+c^2) >= 100/3
(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ac+ba+cb)
100=(a^2+b^2+c^2)+2(ac+ba+cb)
(a^2+b^2+c^2)越小,2(ac+ba+cb)越大
所以(a^2+b^2+c^2)取100/3
100-100/3>=2(ac+ba+cb)
100/3>=(ac+ba+cb)--------(2)
100/3+1000/27=1900/27
Ans:1900/27

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-29 06:07 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-1-29 17:13
7.求正整數k，n，使1!+2!+...+n!=k^2

1!=1
1!+2!=3
1!+2!+3!=9
1!+2!+3!+4!=33
1!+2!+3!+4!+5!=120+33=153
1!+2!+3!+4!+5!+6!=720+120+33=873
接下來的階層都是個位數為0,而往後相加個位數為3
但是平方數的尾數要是0,1,4,5,6,9
所以無論加到多少個位數都是3顯然不合

所以只有二解
1!=1^2
1!+2!+3!=9=3^2
k=3,n=3和k=1,n=1此二解!

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-29 05:17 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-1-29 18:33
2.設a>b>0，求(a^2)+ {1/[b(a-b)]}的最小值
先針對1/[b(a-b)]做討論,如果b(a-b)越大,則1/[b(a-b)]越小
利用算術平均>=幾何平均
[b+(a-b)]/2>=根號(b(a-b))
a/2>=根號(b(a-b))
a^2/4>=b(a-b)
當b(a-b)最大值時有min{(a^2)+ {1/[b(a-b)]}}
所以最小值為 a^2+1/(a^2/4) = a^2+1/(a^2/4)
再利用一次算術平均>=幾何平均
(a^2+4/a^2)/2 >= 根號(4)
(a^2+4/a^2)/2 >= 2
(a^2+4/a^2) >= 4
當a=根號(2)時且b=根號(2)/2,有最小值4

Ans:4

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-30 12:08 AM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-1-29 21:22
6.若函數f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)在區間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]
這是一個開口向下的二次函數圖形(有區域及全域最大值13/2,當x=0時)
代入a到方程式
2a=(-1/2)(a^2)+(13/2)
求出解得到a=-2+根號(17) or -2-根號(17)

討論a
(i)當a=-2+根號(17),b>a 如此一來2a就不是最小值,因為當x>0時　函數值是遞減 (此情況不合)
(ii)當a=-2-根號(17)比(i)有更小的值當2a的時候

討論b,其實當2b=13/2 b=3.25 有極大值
我們去算f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)=0 發現圖交x軸於正負根號(13) 約正負3.60
b=3.25在其內

因此[a,b]區間為[-2-根號(17),3.25]

(這一題我解釋的好亂...應該是有問題)

作者: ‧幻星〞 時間: 07-1-29 21:51
14.求(15+√220)^19 + (15+√220)^82的個位數

15-√220<1且小數前幾位為0

(15+√220)^19+(15-√220)^19尾數是5
由15-√220<1可知(15+√220)^19尾數是4.9多

同理(15+√220)^82尾數也是4.9多

所求為9

作者: ‧幻星〞 時間: 07-1-29 23:03
10.已知有5個正整數，其算數平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值有幾個?

設此五數從小排到大為A1,A2,A3,A4,A5
A3為中位數為8
若A4為8
則平均的最大值為(8*4+26)/5<12
A4不能為8且必大於8
A2一定是8(因8為眾數)
而會有以下幾種狀況
(A1,A2,A3,A4,A5)
=(8,8,8,10,26),
(7,8,8,12,25),
(6,8,8,14,24),
(5,8,8,16,23),
(4,8,8,18,22),
(3,8,8,20,21)
10,12,14,16,18,20共6個

作者: 傲月光希 時間: 07-1-29 23:29

10.已知有5個正整數，其算數平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值有幾個?

不失一般性，假設此5個正整數為a,b,c,d,e，其中a≦b≦c≦d≦e
由於眾數是8，因此8必定有2個以上
又由於中位數是8,因此c=8
a+b+c+d+e=60
a+b+d+e=52
a,b≦8，d,e≧8

因為全距為18，所以e-a=18

d=8，a+b+e=44，當a=1到8，b>8，所以不可能
d=9，a+b+e=43，當a=1到8，b>8，所以不可能
d=10，a+b+e=42，當a=8，e=26，則b=8
d=11，a+b+e=41，當a=1到8，不是b>8就是a>b，不可能
d=12，a+b+e=40，當a=7，e=25，則b=8
d=13，a+b+e=39，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=31且e-a=18，則a跟e不是整數
d=14，a+b+e=38，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=30且e-a=18，則a=6且e=24
...
當d是奇數，則a跟e都不是整數
d=16，a+b+e=36，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=28且e-a=18，則a=5且e=23
d=18，a+b+e=34，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=26且e-a=18，則a=4且e=22
d=20，a+b+e=32，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=24且e-a=18，則a=3且e=21

所以第二大的數可能有10、12、14、16、18、20

作者: ‧幻星〞 時間: 07-1-29 23:37
以下是修改過的..
22.設k為給定的正整數，試求最小正整數n，使得對任意n個整數，其中總存在兩個整數，它們的和或差被2k整除

除以2k的餘數有2k種
分別是0,1,2,3....2k-1

分成K組
第1組(0,k)
第2組(1,k+1)
第3組(2,k+2)
...
第K組(k-1,2k-1)

若這n個數有兩個數再締2組到第K組中的同一組
則這n個數中必存在兩個整數，它們的和或差被2k整除

但在第1組則需要3個數才符合這點
故所求為k+2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-10 09:28 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-1-29 23:49
12.設x，y，z是三個不同的互質的自然數，且任意兩數之和能被第三數整除，試
求這三個數

設x<y<z (因為x,y,z不相同)
(y+z)/x,(z+x)/y,(x+y)/z都是自然數
先考慮最小的一個

1<=(x+y)/z<(z+z)/z=2
因此(x+y)/z=1 表示x+y=z
再討論 (z+x)/y 因為 y|(z+x) 即 y|(y+2x)
因此 y|2x 最後 1<=2x/y<2y/y=2
所以2x/y=1,也就是y=2x
也就是此三數為x,2x,3x 又此三數兩兩互質所以x=1

所以要求的三數為1,2,3

Ans:1,2,3

作者: 傲月光希 時間: 07-1-30 00:04

13.設a、b、c均為整數，若a+b+c=3，(a^3)+(b^3)+(c^3)=3，求│a│+│b│+│c│之最大值

[(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2][(a^1.5)^2+(b^1.5)^2+(c^1.5)^2]≧(a^2+b^2+c^2)^2
=> 3*3≧(a^2+b^2+c^2)^2
=> -3≦a^2+b^2+c^2≦3

[|a|^2+|b|^2+|c|^2](1^2+1^2+1^2)≦(|a|+|b|+|c|)^2
令A=[|a|^2+|b|^2+|c|^2]
則-3A≦(|a|+|b|+|c|)≦3A
因此，當A=3時，|a|+|b|+|c|有最大值3*3=9

作者: turnX 時間: 07-1-30 08:57

原文由M.N.M. 於 07-1-29 12:49 PM 發表
16.設f(x)是一個98次的多項式，使得
f(k)=1/k ，k=1，2，3，...99
求f(100)的值

令g(x)=x*f(x)-1
g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)...(x-99)
由於f(x)是一個98次的多項式
得k=1/99!,於是f(x)=((1/99!)(x-1)(x-2)...(x-99)+1)/x
所以f(100)=(1+1)/100=1/50

作者: 天下聖凱 時間: 07-1-30 13:38
24. 2X+2Y+Z=n有28組正整數解

得知解中XYZ皆≧1 =>2X≧2，2Y≧2

∴2X+2Y+Z=(n-5)隻非負整數解亦有28組

H(3,n-5)=28 =>C(n-3,2)=28

[(n-3)(n-2)]/2=28

n=10#

作者: turnX 時間: 07-1-30 17:08

原文由M.N.M. 於 07-1-29 12:49 PM 發表
24.n是一個正整數。關於x，y，z的方程2x+2y+z=n有28組正整數解，那麼n為何?

首先先針對(x,y)做討論
(x,y)  1 2 3 4 5 6 7 8
  1 4 6 8  10  12  14  16  18
  2 6 8  10  12  14  16  18
  3 8  10  12  14  16  18
  4 10  12  14  16  18
  5 12  14  16  18
  6 14  16  18
  7 16  18
  8 18
(剩下的可以由z來補齊)
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
1+2+3+4+5+6+7=28 (共28解)
所以n可能的數有 17及18
16不行是因為z要為正整數至少要1
19以上包括19也不行因為已經到第8層,有36解(28+8=36)
Ans: 17,18

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-30 06:05 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-1-30 20:07
25.滿足mn≧0，(m^3)+(n^3)+99mn=33^3的有序整數對(m，n)有多少對?

m^3+n^3-33^3+99mn=0
(m+n-33)(m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n)=0
(m+n-33)*1/2*[(m-n)^2+(33+m)^2+(33+n)^2]=0
(m+n-33)=0時
(m,n)有34組解
[(m-n)^2+(33+m)^2+(33+n)^2]=0時
(m,n)有一組解
所求為34+1=35

作者: 神光 時間: 07-1-30 20:25
1.求不定方程(x^3)-(y^3)=xy+61的正整數解 .

x^3 - y^3=xy+61
(x-y)^3+3yx^2-3xy^2-xy=61
(x-y)^3+xy[3(x-y)-1]=61

=> 0 < (x-y)^3 < 61
   0 < x-y < 3.936
=> x-y=1 或 2 或 3

當 x-y=1 , 1^3+xy[3(1)-1]=61
                                 xy=30
所以, x=6 , y=5

當 x-y=2 , 2^3+xy[3(2)-1]=61
                                 xy=53/5
但x,y也是正整數,所以無解.

當 x-y=3 , 3^3+xy[3(3)-1]=61
                                 xy=34/8=17/4
同樣地無解.

所以,(x^3)-(y^3)=xy+61的正整數解是 x=6 和 y=5

作者: turnX 時間: 07-1-31 01:40
23.如果m和n是正整數，滿足
(m+n)/[(m^2)+mn+(n^2)]=4/49
則m+n=?

首先先整理式子
[(m^2)+mn+(n^2)]/(m+n)=49/4

(m+n)-(mn)/(m+n)=12+1/4 (不合)
從此我們得知m+n是4的倍數
所以我們下一個測16

(m+n)-(mn)/(m+n)=16-15/4=16-60/16
而mn最大值是8*8=64>60
所以我們有希望找到一個mn其值為60
在尋找過後發現當m=6,n=10或m=10,n=6時符合其解

再來我們想知道是否後面還有解,我們看當m+n=20

(m+n)-(mn)/(m+n)=20-31/4=16-155/16
而此時mn最大為10*10=100<155
因此我們無法找到一mn數可以到達155

當m+n=24

(m+n)-(mn)/(m+n)=24-47/4=16-282/16
而此時mn最大為12*12=144<282
因此我們無法找到一mn數可以到達282

所以往後的解也都是一樣
因此,我們得以確定解為m=6,n=10或m=10,n=6

所以m+n=16

Ans:16

作者: tzhau 時間: 07-1-31 02:53
標題: 19.
19.已知x，y∈[-π/4，π/4]，a為實數，且(x^3)+sinx-2a=0，4(y^3)+sinycosy+a=0，求cos(x+2y)的值
sol:  4(y^3)+sinycosy+a=0 左右同乘以2得
　　　
　　　(2y)^3+sin2y+2a=0

　　　設f(t)=t^3+sint+2a →f '(t)=3t^2+cost >0
　　　
　　　由(x^3)+sinx-2a=0 知 f(x)=2a
　　　
　　　由(2y)^3+sin2y+2a=0 知 f(-2y)=2a → f(x)=f(-2y)
　　　
　　　因為 f 為 increasing 在 [-π/4，π/4]  所以x=-2y
　　　
　　　所求cos(x+2y)=cos 0 = 1

作者: tzhau 時間: 07-1-31 03:19
標題: 23.
23.如果m和n是正整數，滿足(m+n)/[(m^2)+mn+(n^2)]=4/49，則m+n=?

　sol:令m+n=4k，m^2+mn+n^2=49k，k屬於N

　　　因為mn=[(m+n)^2]-[(m^2)+mn+(n^2)]=16k^2-49k > 0　→　k>3 (因為m，n屬於N)

　　　又mn=[(m+n)/2]^2-[(m-n)/2]^2 → 0 <= [(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2-mn=(4k/2)^2-[(16k^2)-49k]

　　　→49k-12k^2 >= 0 → k<=4

　　　故3<k<=4，k屬於N，因此k=4

　　　所求m+n=4k=16

作者: tzhau 時間: 07-1-31 03:55
標題: 6.
6.若函數f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)在區間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]

sol:我們可從幾部份討論 (i)a<0，b<0 (ii)a<0，b=0 (iii)a<0，b>0(iv)a=0，b>0 (v)a>0，b>0

　　由題知函數頂點為(0，13/2)，且對稱y軸

　　對a而言，f(a)=(-1/2)(a^2)+(13/2)=2a　→ a=-2±根號17 同理b也是 →因此(i)(v)為不可能

　　故所求[a，b]可能為[-2-根號17，0]、 [-2-根號17，-2+根號17]、[0，-2+根號17]

作者: 神光 時間: 07-1-31 21:18
5.在△ABC中，AB=33cm，AC=21cm，BC=m cm，m為整數，又在AB上可找到D，在AC上可找E，使AD=DE=EC=n cm，n為整數，問m可取那些值?

設∠BAC=θ .
從 cosine law, 得知
m^2=33^2 + 21^2 -2*33*21cosθ
cosθ=(1530-m^2)/1386

n^2=n^2 + (21-n)^2 - 2*n*(21-n)cosθ
cosθ=(21-n)/2n

∴ (1530-m^2)/1386=(21-n)/2n
3060n - 2nm^2=29106 - 1386n
2223n - nm^2=14553
                  n=14553/(2223-m^2)

由圖, 21/2 <= n <= 21

∴    2/21 >= (2223-m^2)/14553 >= 1/21
      -1386 <= m^2-2223 <= -693
         837 <= m^2 <= 1530
      28.9 <= m <= 39.1

∴m 的可能值是 29至39 所有的正整數.

附圖

作者: ‧幻星〞 時間: 07-2-1 22:40
13.設a、b、c均為整數，若a+b+c=3，(a^3)+(b^3)+(c^3)=3，求│a│+│b│+│c│之最大值

將c=3-a-b代入
(a^3)+(b^3)+(c^3)=3
整理式子之後可得
(a+b)(ab-3a-3b+9)=8
即(3-a)(3-b)(3-c)=8
因為a,b,c都為整數
所以((3-a),(3-b),(3-c))=(1,1,8),(1,2,4),(2,2,2)[順序可以調換]
將三組數代入會發現
((3-a),(3-b),(3-c))=(1,1,8)時
(a,b,c)=(4,4,-5)[順序可以調換]
((3-a),(3-b),(3-c))=(1,2,4)時
(a,b,c)無解
((3-a),(3-b),(3-c))=(2,2,2)時
(a,b,c)=(1,1,1)[順序可以調換]

所以|a|+|b|+|c|最大值為|4|+|4|+|-5|=13

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-2-1 10:43 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-2-1 22:48
11.已知x和y都是正整數，它們的常用對數的尾數之和等於1，(x^2)y的常用對數
的首數是3。求x，y的值

因為log yx^2首數為3
所以1000≦yx^2<10000

log x+log y為整數
log xy為整數

當xy=10
(x,y)沒有解

當xy=100時
(x,y)=(50,2),(25,4),(20,5)

當xy=1000時
(x,y)=(2,500),(4,250),(8,125)

當xy=10000時
(x,y)沒有解

所以(x,y)=(50,2),(25,4),(20,5),(2,500),(4,250),(8,125)

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-2-3 04:00 PM 編輯 ]

作者: silver feather 時間: 07-2-5 19:48
21.
解Sol：
(一)、算出全部組合情況n(S)：
C12取3=220

(二)、算出不夠錢的情況數n(A)'：
(1).[1.1.1]=1
(2).[2.2.2]=1
(3).[2.1.1]=3*3=9
(4).[2.2.1]=3*3=9
(5).[5.1.1]=3*3=9
(6).[5.2.1]=3*3*3=27
(7).[5.2.2]=3*3=9

(三)、算出不夠錢的機率P(A)'：
(1+1+9+9+9+27+9)/220
=65/220
=13/44

(四)、利用所有機率合=1解出至少夠錢之機率P(A)：
1-(13/44)=31/44

Ans：她取出的硬幣至少夠付巧克力的錢的機率為31/44

煩請M.N.M.大大無論是否正確都給一封PM...感謝!!!

[ 本文最後由 silver feather 於 07-2-5 07:53 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-2-5 23:14
方法有點爛..

17.若m，n均為正整數，則[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的最大值為?

如果m+n為定值，
則m和n越靠近1/[(m+1)(n+1)]會越小
即[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}越大
現在分成m=n和m=n+1討論
當m=n時
將(m,n)=(1,1),(2,2)....(k,k)代入
會發現[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值
(1,1)會大於(2,2)大於(3,3).....大於(k,k)
且(1,1)-(2,2)大於(2,2)-(3,3)大於(k-1,k-1)-(k,k)
可以知道當m=n時，m=n=1可以讓[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值最大為1/12

當m=n+1時
將(m,n)=(2,1),(3,2)....(K+1,K)代入
會發現[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值
(2,1)會等於(3,2)會大於(4,3)大於(5,4).....大於(k+1,k)
且(3,2)-(4,3)大於(4,3)-(5,4)大於(k,k-1)-(k+1,k)
可以知道當m=n+1時，m=2,n=1或是m=3,n=2可以讓[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值最大為1/12

故[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}最大值為1/12

作者: silver feather 時間: 07-2-6 13:58
23.
解Sol：
(一).整理算式：
原式→(m+n)/[(m+n)^2－mn]=4/49
　　→(m+n)：[(m+n)^2－mn]=4：49

(二).令(m+n)＝4t、[(m+n)^2－mn]=49t [t=1.2.3．．．] 算出mn，再因m,n屬於正整數求出組合數代回驗算：
(1).t=1→m+n=4　16-mn=49→mn=-33 (不合，∵mn＞0)
(2).t=2→m+n=8　64-mn=98→mn=-34 (不合，∵mn＞0)
(3).t=3→m+n=12　144-mn=147→mn=-3 (不合，∵mn＞0)
(4).t=4→m+n=16　256-mn=196→mn=60
　　[m,n]=[1,60]or[60,1] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[2,30]or[30,2] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[3,20]or[20,3] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[4,15]or[15,4] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[5,12]or[12,5] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[6,10]or[10,6]
　　∴m+n=16
(5).t=5→m+n=20　400-mn=245→mn=155
　　[m,n]=[1,155]or[155,1] (不合，∵m+n=20)
　　[m,n]=[5,31]or[31,5] (不合，∵m+n=20)
(6).t=6→m+n=24　576-mn=294→mn=282
　　[m,n]=[1,282]or[282,1] (不合，∵m+n=24)
　　[m,n]=[2,141]or[141,2] (不合，∵m+n=24)
　　[m,n]=[3,94]or[94,3] (不合，∵m+n=24)
　　[m,n]=[6,47]or[47,6] (不合，∵m+n=24)
由此(5).(6).可以得知mn有增大之趨勢，且必定不符合原假設

Ans：m+n=16

煩請M.N.M.大大無論是否正確都給一封PM...感謝!!!

作者: turnX 時間: 07-2-7 23:30
17.若m，n均為正整數，則[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的最大值為?

f(m,n)=[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}

對f(m,n)做偏微分

d f(m,n)/dm = 1/((m+1)^2*(n+1))-1/(m+n+1)^2
d f(m,n)/dn = 1/((n+1)^2*(m+1))-1/(m+n+1)^2

當d f(m,n)/dm=d f(m,n)/dn=0 時有極值
1/((m+1)^2*(n+1))-1/(m+n+1)^2=1/((n+1)^2*(m+1))-1/(m+n+1)^2
=>1/(m+1)=1/(n+1)
=>m=n

所以知道當m=n時有極值發生

代入f(1,1)=1/12=0.083333
代入f(2,2)=4/45=0.088888
代入f(3,3)=9/112=0.080357
代入f(4,4)=16/225=0.071111

觀察後可發現在f(2,2)時有最大值

Ans:所以m=n=2時有最大值0.088888 (4/45)

不知道對不對,也是硬著頭皮算
總覺得不夠嚴謹,算了...XD

作者: andyliu941642 時間: 07-2-10 14:19
24.n是一個正整數。關於x，y，z的方程2x+2y+z=n有28組正整數解，那麼n為何?
以下討論n為偶數
若n最後算出為10
則實際n應為10和9
因為如果n為6
則x=1，y=1，n=2
但如果n為5
則x=1，y=1，n=1
也和
如果x+y=5 x，y共有4組正整數解（5-1=4）
如果x+y=n x，y共有n-1組正整數解
假設2x+2y+z=10
則先再假設z=2
2x+2y=8 x+y=4 x，y有3組正整數解
假設z=4
2x+2y=6 x+y=3 x，y有2組正整數解
假設z=6
則x，y有1組正整數解
2x+2y+z=10 x，y，z共有6組正整數解（1+2+3=6）
2x+2y+z=12 x，y，z共有10組正整數解（1+2+3+4=10）
梯形公式：1+2+3+...+k=（1+k）*k/2
2x+2y+z=10 x，y，z共有6組正整數解
其中（10-2）/2-1=3
k=3帶入梯形公式
得（1+3）*3/2=6
2x+2y+z=12 x，y，z共有10組正整數解
若12為未知數設為a
則依照上面的步驟得（a-2）/2-1
k=（a-2）/2-1帶入梯形公式
會得（1+（a-2）/2-1）*（（a-2）/2-1）/2=28
→太複雜所以用1+2+3+...+k代替
1+2+3+...+k=10←共有10組正整數解
已知1+2+3+4=10
則k=4
（a-2）/2-1=4
a=12
2x+2y+z=n有28組正整數解
再依上面步驟：
1+2+3+...+（n-2）/2-1=28
28=1+2+3+4+5+6+7
（n-2）/2-1=7
（n-2）=16
n=18
18-1=17
答：17，18
打了好多感覺越用越複雜
用說的會簡單許多...

[ 本文最後由 andyliu941642 於 07-2-10 06:38 AM 編輯 ]

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