鐵之狂傲

標題: 挑戰72 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 07-2-12 00:08
標題: 挑戰72
1.考慮所有3的倍數之三位數N中，對任意的N隨機將N的一個位數去掉，則所剩下之數仍為3的倍數之機率為何？(例如207去掉一個位數後可得20或7或27； 300去掉一個位數後可得30或30或0)


2.10^2000被(10^100)+3除，商的個位數為a，餘數的個位數為b，求數對(a,b)

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作者: 傲月光希    時間: 07-2-12 00:46

原文由M.N.M. 於 07-2-12 12:08 AM 發表
1.考慮所有3的倍數之三位數N中，對任意的N隨機將N的一個位數去掉，則所剩下之數仍為3的倍數之機率為何？(例如207去掉一個位數後可得20或7或27； 300去掉一個位數後可得30或30或0)

所有3個倍數的三位數一共有[1000/3]-[100/3]=300個 ([．]為高斯符號)
總去法有300*3=900
假設所有的自然數都寫成3n,3n+1,3n+2的形式
而0~9的數中，3n:0,3,6,9，3n+1:1,4,7，3n+2:2,5,8

則三的倍數的三位數可寫成下列幾種形式
1.3n有三個
2.3n+1有三個
3.3n+2有三個
4.3n,3n+1,3n+2各一個

第2跟3種情況的話，無論去掉哪一個都無法湊成3的倍數，所以方法數為0

第1種情況無論去掉哪一個，都會湊成三的倍數，因此有3*4*4=48個這樣的數，因此總去法有48*3=144

第4種只能去掉3n，而這種形式的數有3*2*3*3+2*4*2*3*3=198，因此總方法數有198*1=198

因此答案為(144+198)/900=19/50

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作者: M.N.M.    時間: 07-2-19 14:33
[解答]
1.傲月光希已解出

2.
設x=10^100

x^20=(x+3)[(x^19)-3(x^18)+9(x^17)-...-(3^19)]+(3^20)

3^20≡1 (mod10)
b=1

(x^19)-3(x^18)+9(x^17)-...-(3^19)
=(10^19)-3(10^18)+9(10^17)-....-(3^19)
≡-(3^19)≡-7≡3 (mod10)

a=3

a+b=4

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