鐵之狂傲

標題: 2007 AMC10/AMC12 [列印本頁]
作者: M.N.M.    時間: 07-2-14 13:34
標題: 2007 AMC10/AMC12
http://www.99cef.org.tw/

題目出來了，大家來試吧

1~10沒聲望喔

11~20  聲望+1

21~25  聲望+2
作者: aeoexe    時間: 07-2-14 16:24
AMC10
14.A
設三角形的邊分別為3x,4x,5x,
根據畢氏定理,我們可以知道這是一個直角三角形,
根據正弦定理,
5x/sinC=4x/sinA=3x/sinA=2R
因為C=90,R=3,
5x/sin90=2*3
5x=6
x=1.2
故三角形的面積為:3*1.2*4*1.2/2=8.64(A)
20.D
a+a^-1=4
a^2+2+a^-2=16
a^2+a^-2=14
a^4+2+a^-4=196
所以a^4+a^-4=194

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-2-14 04:35 PM 編輯 ]
作者: turnX    時間: 07-2-14 16:47
AMC10 第15題

利用輔助線畫出的三角形 45度-45度-90度 可以算出正方形邊的一半
最後再乘以2就是邊長!
正方形邊長為 2*((3+根號(2))/根號(2))=3根號(2)+2
正方形面積=( 3根號(2)+2 )^2=22+12根號(2)
Ans:(B)

第21題

大立方體其中一面表面積 24/6=4
所以立方體邊長2
所以內切圓直徑2
設x為小立方體之邊長
(根號(2)x)^2+x^2=2^2
3x^2=4
x^2=4/3

4/3*6=8

Ans:(C)

[ 本文最後由 turnX 於 07-2-14 05:17 PM 編輯 ]
作者: ‧幻星〞    時間: 07-2-14 16:47
AMC12

11.
這串數列的每個三位數的百位、十位和個位
都至少會出現三次
且這三次會分別在百位、十位和個位中出現
所以可以知道這串數列的和必為111的倍數
而111=3*37
故答案為37，選D

12.
兩個數相乘之後，會有3/4的機率是偶數，1/4的機率是奇數
ad-bc有以下幾種可能
偶-偶....3/4*3/4
奇-奇....1/4*1/4
偶-奇....3/4*1/4
奇-偶....1/4*3/4

只有第一種和第二種符合題意
機率為9/16+1/16=10/16=5/8
選E

先吃點東西..等等再補其他題
作者: turnX    時間: 07-2-14 16:50
AMC 10

第17題

75m=n^3
對75做因式分解 75=3^2*5
所以知道m最小為3^2*5=45 n=3*5=15
所以m+n=45+15=60

Ans:(D)

第20題

4=a+a^(-1)
16=a^2+a^(-2)+2
14=a^2+a^(-2)

14^2=a^4+a^(-4)+2
194=a^4+a^(-4)

Ans:(D)

[ 本文最後由 turnX 於 07-2-14 05:13 PM 編輯 ]
作者: aeoexe    時間: 07-2-14 17:10
AMC10
13.B
設A是由小言身處地方到運動場的距離,
B為小言到家的距離,
S為步行的速度,
得出方程:
A/S=B/S+(A+B)/7S
7A=7B+A+B
6A=8B
B/A=3/4
作者: aeoexe    時間: 07-2-14 17:12
TO turnX:
正方形邊長為 2*((3+根號(2))/根號(2))=3根號(2)+2???
為什麼???
我這題最不解的地方是這一部分,
請你詳細解釋一下吧.....
作者: ‧幻星〞    時間: 07-2-14 17:13
AMC12

14.
45=3*3*5
所以
6-a,6-b,6-c,6-d,6-e要為-1,1,-3,3,5(a,b,c,d,e都要不同)
a+b+c+d+e=7+5+9+3+1=25
答案選C

15.3+6+9+10=28
所以n的尾數要為2或7
當n=2,7,17時有解
2+7+17=26
答案選E

16.
三位數的組成有以下
(1)沒有0的
123,135,147,159,234,246,258,345,357,369,456,468,567,579,678,789共16組
每組有6種組合
6*16=96
(2)有0的
012,023,036,048共四組
每組有4種組合
4*4=16
96+16=112
答案選C

17.
sin^2 a+sin^2 b+2sin a * sin b=5/3
cos^2 a+cos^2 b +2cos a * cos b=1
兩式相加
2+2 cos(a-b)=8/3
cos(a-b)=1/3
答案選B
作者: turnX    時間: 07-2-14 17:16
原文由aeoexe 於 07-2-14 05:12 PM 發表
TO turnX:
正方形邊長為 2*((3+根號(2))/根號(2))=3根號(2)+2???
為什麼???
我這題最不解的地方是這一部分,
請你詳細解釋一下吧.....

利用輔助線畫出的三角形 45度-45度-90度 可以算出正方形邊的一半
最後再乘以2就是邊長!
作者: turnX    時間: 07-2-14 17:22
AMC 10

第11題
擺設如下

  1    8
6    3

  7    2
  4    5

1+6+7+4=18=8+3+2+5=6+4+3+5=1+7+2+8

所以每一面相加都是18
Ans:(C)

第12題　利用　排列組合
C(6,1)+C(6,2)+C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)
=6+15+20+15+6=62

Ans:(D)

[ 本文最後由 turnX 於 07-2-14 05:25 PM 編輯 ]
作者: 蠍心    時間: 07-2-14 17:22
AMC12

21.
f(x)=ax^2+bx+c=0
依題
兩根和=兩根積=a+b+c=-b/a=c/a
so
-b=c
代入a+b+c=a
答案選(A)X項係數
作者: ‧幻星〞    時間: 07-2-14 17:42
AMC12

13.
過乳酪作直線y=-5x+18的垂直線交於K
則K座標為(a,b)
設垂直線方程式為
y=ax+b
又兩條線互相垂直斜率相乘為-1
a=1/5
10=12*1/5+b
b=38/5
解聯立
y=x/5+38/5
y=-5x+18
得x=2,y=8
2+8=10
答案選B

20.
設對正方形邊長所切的長度為X
列出方程式
根號(2X^2)=1-2X
2X^2=1-4X+4X^2
2X^2-4X+1=0
X=(2-根號2)/2
體積總和=(2-根號2)/2*(2-根號2)/2*1/2*(2-根號2)/2*1/3*8=(10-7*根號2)/3
答案選B

AMC10

24.
連AE、BF、AC、BD
面積=長方形-2*扇形-2*等腰直角三角形
=4根號2*2-2*2*pi*1/8*2-2*2*1/2*2
=8根號2-4-pi
答案選B

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-2-14 06:57 PM 編輯 ]
作者: M.N.M.    時間: 07-2-14 18:14
搶走AMC10 (毆

25.
∵n<2007
∴S(n)<29
n除以9的餘數=S(n)除以9的餘數=S(S(n))除以9的餘數

設餘數為r，r=0~8

∵9│2007
∴n+S(n)+S(S(n) ≡ r+r+r≡0 (mod9)

設S(n)=9k , 9k+3, 9k+6(k為正整數或0)
k=0
S(n)=3,6
S(S(n))=3,6
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=2001,1995(2001合)

k=1
S(n)=9 , 18 ,27
S(S(n))=9 ,9 ,9
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=1989,1980,1971(1980合)

k=2
S(n)=18, 21 ,24
S(S(n))=9 ,3 ,6
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=1980,1983,1977(1980,1983,1977合)

k=3
S(n)=27
S(S(n))=9
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=1971


∴n=2001,1980,1983,1977共4個

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-14 06:16 PM 編輯 ]
作者: 蠍心    時間: 07-2-14 18:30
AMC10

24
從長方形ABEF開始
ABEF面積=8根號2
減掉兩個四分之一圓=半圓=2pi
在減掉兩個奇怪的形狀=兩個等腰直角三角形減掉兩個八分之一圓=4-pi
8根號2-2pi-(4-pi)
=8根號2-4-pi
答案為B

[ 本文最後由 蠍心 於 07-2-14 10:35 AM 編輯 ]
作者: ‧幻星〞    時間: 07-2-14 18:44
AMC12

23.
畫出函數圖形可知
(1)A,B的y座標相同
且A的x座標比b的x座標大6
(2)B,C的x座標相同
且C的y座標比b的y座標大6

(1)
設B的x座標為m
log_a m^2=log_a m+6
m^2=m+6
m=3 or -2

(2)
設B的y座標為n
B所在直線方程式可改寫成a^y=x^2
C所在直線方程式可改寫成a^(y+6)=x^3
由於兩點x座標相同
下式除以上式
a^6=x
由(1)x=3 or -2
但此時-2不合
故x=3
a=6次根號3
答案選A
作者: M.N.M.    時間: 07-2-14 19:35
AMC12

24.
畫圖得知=口=
sinx=sin2x有3個交點
sinx=sin3x有4個交點
sinx=sin4x有5個交點
sinx=sin5x有5個交點
sinx=sin6x有7個交點
可看出規律
sinx=sin7x有8個交點
sinx=sin8x有9個交點
sinx=sin9x有9個交點
.
.

每4項一組
2007/4=501.....3

F(2)+F(3)+F(4)+(5)+F(6)+...+F(2005)+F(2006)+F(2007)

=3+4+5+5+7+8+9+9+...+2006+2007+2008

=3+4+5+(6-1)+7+8+9+(10-1)+...+2006+2007+2008

=[ (3+2008)2006/2]-501

=2016532

A:(D)
作者: 傲月光希    時間: 07-2-14 20:21
AMC10-25.

(硬拼法)
因為n+S(n)+S(S(n))=2007

所以1≦n≦2007
而1≦S(n)≦28 (最大為1+9+9+9=28)
1≦S(S(n))≦10

當
S(S(n))=1 => S(n)=1,10 => n=2005,1996
S(S(n))=2 => S(n)=2,11,20 => n=2003,1994,1985
S(S(n))=3 => S(n)=3,12,21 => n=2001,1992,1983
S(S(n))=4 => S(n)=4,13,22 => n=1999,1990,1981
S(S(n))=5 => S(n)=5,14,23 => n=1997,1988,1979
S(S(n))=6 => S(n)=6,15,24 => n=1995,1986,1977
S(S(n))=7 => S(n)=7,16,25 => n=1993,1984,1975
S(S(n))=8 => S(n)=8,17,26 => n=1991,1982,1973
S(S(n))=9 => S(n)=9,18,27 => n=1989,1980,1971
S(S(n))=10 => S(n)=19,28 => n=1978,1969

由上列表，可以得知
n=2001,1980,1977,1983皆可能
作者: 傲月光希    時間: 07-2-14 20:34
AMC10-11

由於一個頂點對應的面有三個
因此每個點都會被算三次

所以全部的面的和再總和為{[(1+8)*8]/2}*3=108

又因應題目要求

全部的面共同的和為108/6=18
作者: 傲月光希    時間: 07-2-14 22:13
AMC10-12

由旅客選導遊，總方法數為2^6=64

扣掉任何一個導遊沒帶隊的方法有2種

因此答案為62

AMC10-15

算出正方形對角線即可

由附圖可知，中間最長的那條紅線的長度為1+2+2+1=6
而綠色線的長度剛好就是旁邊兩條短紅線所圍起來的正方形的對角線長
因此綠線長為√2
所以正方形對角線長6+2√2

設正方形邊長為x，則面積為x^2
又由畢氏定理得知x^2+x^2=(6+2√2)^2
所以面積為[(6+2√2)^2]/2=22+12√2

54245.JPG

作者: turnX    時間: 07-2-14 23:25
AMC 10  
第16題

偶數有1004個 奇數有1004個
要達成偶數要

奇-奇=偶
偶-偶=偶

又
奇奇=奇 1/4 ----(A)
奇偶=偶 1/4 ----(B)
偶奇=偶 1/4 ----(C)
偶偶=偶 1/4 ----(D)

偶-偶=偶 (B)(C)(D)
1/4*1/4*3*3=9/16

奇-奇=偶 (A)
1/4*1/4*1=1/16

9/16+1/16=10/16=5/8

Ans:(E)


第19題

令正方形邊長為ax
帶狀區域寬為x

[ (根號(2)ax)/2-x+(根號(2)ax)/2 ]*(x/2)*(1/2)*x = (1/2)*(a/x)^2
整理式子得
x^2-(4根號(2)x)/a+4/(a^2)=0
求x
x=(2根號(2)+2)/a or =(2根號(2)-2)/a (不合!因為ax>x)
所以x=(2根號(2)+2)/a

Ans:(C)

[ 本文最後由 turnX 於 07-2-14 11:39 PM 編輯 ]
作者: turnX    時間: 07-2-14 23:49
AMC10
第23題
(m,n) m>n
m^2-n^2=(m+n)*(m-n)=96
對96做因式分解 3*2^5
知有 (1+1)*(1+5)=12 12個因數


依以下解聯立方程知
(96,1) 不合
(48,2) 合
(32,3)　不合
(24,4) 合
(16,6) 合
(12,8) 合

所以符合數對有 4 對

Ans:(B)
作者: turnX    時間: 07-2-15 04:18
AMC 10
第18題
使用座標解析的方式

令 A=(4,12) B=(8,12) C=(8,8) D=(12,8) E=(12,4) F=(8,4) G=(8,0) H=(4,0) I=(4,4) J=(0,4) K=(0,8) L=(4,8)
然後計算 AG線段和CH線段之交點列出聯立方程式為
y=-3x+24
y=2x-8
得交點M=(x,y)=(32/5,24/5)
利用坐標點可以求得多邊形ABCM面積為 88/5
所以

Ans:(C)
作者: M.N.M.    時間: 07-2-19 14:18
AMC12

24題

非畫圖法
x在0到pi之間

n=2時
2cos(3x/2)sin(-x/2)=0
cos(3x/2)=0可找到2解
sin(-x/2)=0可找到1解
共3解

n=3時
2cos(2x)sin(-x)=0
cos(2x)=0可找到2解
sin(-x)=0可找到2解
共4解

n=4時
2cos(5x/2)sin(-3x/2)=0
cos(5x/2)=0可找到3解
sin(-3x/2)=0可找到2解
共5解

n=5時
2cos(3x)sin(-2x)=0
cos(3x)=0可找到3解
sin(-2x)=0可找到3解
共用1解，所以共5解


n=6時
2cos(7x/2)sin(-5x/2)=0
cos(7x/2)=0可找到4解
sin(-5x/2)=0可找到3解
共7解

以此類推

2007/4=501...3

n=2007時
x共有2008解


F(2)+F(3)+F(4)+(5)+F(6)+...+F(2005)+F(2006)+F(2007)

=3+4+5+5+7+8+9+9+...+2006+2007+2008

=3+4+5+(6-1)+7+8+9+(10-1)+...+2006+2007+2008

=[ (3+2008)2006/2]-501

=2016532

A:(D)
作者: M.N.M.    時間: 07-2-24 01:45
AMC12

第19題

設ΔABC面積=2007=(1/2)*BC*h =(1/2)*223*h => h=18=>A坐標(t,±18)
ΔADE的面積=7002=(1/2)*DE*h'=(1/2)*(9√2 )*h' => h'=778√2

A(t,±18)   D(680,380)    E(689,389)
DE方程:
DE直線的斜率=(680-689)/(380-389)=1
x-y-300=0

(i)
(t,18)到DE距離=│t-18-300│/√2 = 778√2
=>│t-318│=1556=> t-318= 1556 or -1556
=> t= 1874 or -1238

(ii)
(t,-18)到DE距離=│t+18-300│/√2 = 778√2
=>│t-282│=1556=> t-282= 1556 or -1556
=> t= 1838 or -1274


則所有可能的A點之x坐標的和=1874+(-1238)+1838+(-1274)=1200
作者: cfc21    時間: 07-3-2 22:15
標題: AMC12第18題好像沒人解......
AMC12  第18題
應用「實係數方程式虛根成雙定理」：
x^2=(2i)^2=-4  →  x^2+4=0
(x-2)^2=(i)^2=-1  →  x^2-4x+5=0
f(x)=x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d=(x^2+4)(x^2-4x+5)
f(1)=1+a+b+c+d=(1+4)(1-4+5)=5*2=10
故a+b+c+d=9
答案選(D)

[ 本文最後由 cfc21 於 07-3-2 02:18 PM 編輯 ]
作者: cfc21    時間: 07-3-6 18:51
標題: 不是我想的
解AMC12第25題
以下解法不是我想的，但是我覺得解法很好，所以......
[解]
1. 空集合 → 1
2. 取一元素 → C(12,1)=12
3. 取二元素 → 由1~10任取相異二數，假設是a,b，則所用的二數為a,b+2，故方法數為C(10,2)=45
4. 取三元素 → 由1~8任取相異三數，假設是a,b,c，則所用的三數為a,b+2,c+4，故方法數為C(8,3)=56
5. 取四元素 → 由1~6任取相異四數，假設是a,b,c,d，則所用的四數為a,b+2,c+4,d+6，故方法數為C(6,4)=15
1+12+45+56+15=129.......答案選(E)



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