鐵之狂傲

標題: 挑戰73 [列印本頁]

---

作者: M.N.M.    時間: 07-2-15 22:33
標題: 挑戰73
1.在一個△ABC,AB=AC,D為AC的中點,BD=3^(1/2),試問當角BAC
為何值時,△ABC面積有最大值,此面積最大值為何??

2.
(1/x) + [1/(2y)]=(3x^2+y^2)(3y^2+x^2)
(1/x) -  [1/(2y)]=2(y^4-x^4)

求(x,y)的實數對

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-15 10:34 PM 編輯 ]

---

作者: 傲月光希    時間: 07-2-16 01:41

原文由M.N.M. 於 07-2-15 10:33 PM 發表
1.在一個△ABC,AB=AC,D為AC的中點,BD=3^(1/2),試問當角BAC
為何值時,△ABC面積有最大值,此面積最大值為何??

令AC=AB=x，∠BAC=θ



根據三角函數版的三角形面積公式得知(1/2)*x*x*sinθ

又根據餘弦公式得知3=x²+x²/4-2*x*(x/2)*cosθ

=> x²=3/(5/4-cosθ)

代入面積公式得到

3sinθ/(5/2-2cosθ)=f(x) (令)

=>f'(x)=[3cosθ(5/2-2cosθ)-3sinθ(2sinθ)]/(5/2-2cosθ)²=[(15cosθ)/2-6]/(5/2-2cosθ)²



當f'(x)=0，其f(x)有極值2，而cosθ=4/5，也就是θ≒37度(arccos(4/5))

2-2cosθ)>2
=> 3√(1-cos²θ)>5-4cosθ
=> 9-9cos²θ>25-40cosθ+16cos²θ
=> 25cos²θ-40cosθ+16<0
但是25cos²θ-40cosθ+16只有4/5這個解，因此不可能

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-2-16 01:57 PM 編輯 ]

---

作者: aeoexe    時間: 07-2-16 13:17
可惡啊!!!!!再試
2.
(1/x) + [1/(2y)]=(3x^2+y^2)(3y^2+x^2)
(1/x) -  [1/(2y)]=2(y^4-x^4)

求(x,y)的實數對
(1/x) + [1/(2y)]=(3x^2+y^2)(3y^2+x^2)=3x^4+3y^4+10x^2y^2.......(1)
(1/x) -  [1/(2y)]=2(y^4-x^4)=2y^4-2x^4.............(2)
(1)+(2)=>(2/x)=x^4+5y^4+10x^2y^2=>x^5+5xy^4+10x^3y^2=2.......(3)
(1)-(2)=>(1/y)=5x^4+10x^2y^2+y^4=>x^4y+10x^2y^3+y^5=1........(4)
(3)+(4)=>(x+y)^5=3=>x+y=開五次方(3)......(5)
(3)-(4)=>(x-y)^5=1=>x-y=1.........(6)
(5)+(6)=>x=(1+開五次方(3))/2
(5)-(6)=>y=(開五次方(3)-1)/2

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-2-19 09:45 PM 編輯 ]

---

歡迎光臨 鐵之狂傲 (https://gamez.com.tw/)