鐵之狂傲

標題: 挑戰74 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 07-2-18 23:24
標題: 挑戰74
1.有一個正七邊形與一個正十七邊形，分別畫出他們的外接圓與內接圓。已知在這兩個正多邊形的內接圓與外接圓之間環部分的面積相等，試證這正七邊形的邊長與正十七邊形的邊長相等。

2.求四個數,它們組成幾何級數,兩個邊項之和等於27,中間兩項之和等於18

作者: turnX 時間: 07-2-18 23:56
2.求四個數,它們組成幾何級數,兩個邊項之和等於27,中間兩項之和等於18

設首項a,公差r
a,ar,ar^2,ar^3為四數
ar+ar^2=18--(1)
a+ar^3=27--(2)
(2)/(1)得 r=2 or 1/2

當r=2 6a=18 a=3
3,6,12,24

當r=1/2 3a/4=18 a=24
24,12,6,3

Ans:四數分別為 3,6,12,24 or 24,12,6,3

作者: 傲月光希 時間: 07-2-19 01:09

原文由M.N.M. 於 07-2-18 11:24 PM 發表
1.有一個正七邊形與一個正十七邊形，分別畫出他們的外接圓與內接圓。已知在這兩個正多邊形的內接圓與外接圓之間環部分的面積相等，試證這正七邊形的邊長與正十七邊形的邊長相等。

設正七邊形邊長為x，正十七邊形邊長為y

再假設七邊形外接圓半徑R，內接圓半徑r；十七邊形外接圓半徑S，內接圓半徑s

根據附圖，如果是正多邊形的一小部分，則紅色線剛好就是外接圓的半徑，而綠色線則是內接圓半徑，因此兩個圓同心

而紅色線跟邊所交的三角形正好是等腰三角形，綠色線則為高，也是中垂線

由畢氏定理可知，(x/2)²+r²=R² => R²-r²=x²/4
　　　　　　　　(y/2)²+s²=S² => S²-s²=y²/4

由題目，環的面積剛好是外接圓面積-內接圓面積
=> 正七邊形的環面積=πR²-πr²=π(R²-r²)=x²/4
=> 正十七邊形的環面積=πS²-πs²=π(S²-s²)=y²/4

因為環面積相等，所以x²/4=y²/4
=> x²=y²
=> x=±y

邊長恆正，因此x=y

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