鐵之狂傲

標題: 數論 [列印本頁]

作者: vchenkoshe 時間: 07-2-21 00:46
標題: 數論

我做了3日
一題也做不了
希望有能者可以幫幫手
感激不盡!!!

作者: 傲月光希 時間: 07-2-21 00:48
你的圖很不清楚喔

是否能再傳更清楚的圖?

作者: vchenkoshe 時間: 07-2-21 02:14
1.証明:存在無限多個這樣的正整數,當把它補在自己的右邊後,所得的數恰好是一個完全平方數
即a=>a*(10^n+1),其中n為a的位數,如13=>1313,213=>213213

2.証明:對於任意正整數r,存在r個連續正整數,它們都不是質數的幂
提示:用中國剩餘定理

3.証明:不存在非負整數k及m,使得k!+48=48*(k+1)^m
提示:用不定方程無解判斷及威爾遜定理

4.求不定方程 (y-1)*x^2+(x-1)*y^2=1 的整數解

5.証明:不定方程 x^2+y^2+z^2+3*(x+y+z)+5=0 沒有有理數解

6.証明:每一個有理數都可以表示為4個有理數的平方和

7.証明:對於給定的整數m,存在整數a,b,k,其中a,b都不能被2整除,k>=0,使得 2m=a^19+b^99+k*2^2007

8.求証:於任意正整數d,在 2d-1,5d-1,13d-1 這三個數中至少有一個不是完全平方數

[ 本文最後由 vchenkoshe 於 07-2-21 02:43 AM 編輯 ]

作者: vchenkoshe 時間: 07-2-21 11:07
這些題目會有一定的難度
如果真的沒有人做到的話
也希望你可以留下一些想法
感激不盡~

作者: M.N.M. 時間: 07-2-22 01:15
6.在下只想到整數的情況而已

設有一整數為x

(x+1)^3 +(x-1)^3 +(-x)^3 +(-x)^3=6x......(*)

當x=6k±1 時
代入(*)顯然成立

當x=6k±2 時
x=6(k-1)+8 or 6(k+1)-8代入(*)，結果成立

當x=6k+3 時
x=6(k-4)+27代入(*)結果成立

作者: vchenkoshe 時間: 07-2-23 09:21
還有沒有人幫一幫我ar~~
拜託~~

作者: andyliu941642 時間: 07-2-23 14:15
8.求証:於任意正整數d,在 2d-1,5d-1,13d-1 這三個數中至少有一個不是完全平方數
假設 2d-1,5d-1為完全平方數
可得（（根號2d-1）+1）^2=5d-1
解1原2次
過程跳過...抱歉...手會酸...
得d只有一正整數解：1
帶入2d-1,5d-1,13d-1
13d-1不合
完畢

作者: andyliu941642 時間: 07-2-23 14:30
7.証明:對於給定的整數m,存在整數a,b,k,其中a,b都不能被2整除,k>=0,使得 2m=a^19+b^99+k*2^2007
↑如果我意思沒用錯的話↓
a,b為奇數
題目應該是要證明a^19+b^99+k*2^2007為偶數
a^19+b^99為偶數（因為奇數*奇數永遠為奇數）
2^2007是偶數
k>=0
k*2^2007也是偶數
最後a^19+b^99+k*2^2007為偶數

這題我有解釋跟沒解釋差不多...

作者: ACT 時間: 07-2-23 15:29
這麼多題證明
你該部會是數學系的吧

作者: 大米龜 時間: 07-2-23 16:32
關於 6.証明:每一個有理數都可以表示為4個有理數的平方和
有理數有包含負數吧!!那麼4個有理數的平方和必>=0 怎麼會為負數呢??

作者: ‧幻星〞 時間: 07-2-23 17:24

原文由andyliu941642 於 07-2-23 02:15 PM 發表
8.求証:於任意正整數d,在 2d-1,5d-1,13d-1 這三個數中至少有一個不是完全平方數
假設 2d-1,5d-1為完全平方數
可得（（根號2d-1）+1）^2=5d-1
解1原2次
過程跳過...抱歉...手會酸...
得d只有一正整數解：1
帶入2d-1,5d-1,13d-1 ...

照你的解法應該要討論三次才會比較完整吧

一次是2d-1,5d-1為完全平方數
一次是13d-1,5d-1為完全平方數
一次是13d-1,2d-1為完全平方數

作者: vchenkoshe 時間: 07-2-24 01:51

原文由大米龜 於 07-2-23 04:32 PM 發表
關於 6.証明:每一個有理數都可以表示為4個有理數的平方和
有理數有包含負數吧!!那麼4個有理數的平方和必>=0 怎麼會為負數呢??

是立方和
打錯了
sorry~

作者: vchenkoshe 時間: 07-2-24 01:52

原文由ACT 於 07-2-23 03:29 PM 發表
這麼多題證明
你該部會是數學系的吧

我還是中學生~~

作者: turnX 時間: 07-2-24 05:33

原文由vchenkoshe 於 07-2-24 01:52 AM 發表
我還是中學生~~

我怎麼不記得我中學時有做過這類題目
難道現在的層次有提高?

作者: M.N.M. 時間: 07-2-24 08:36
要聊請到數聊主題聊

請勿在非數聊主題聊天

否則鎖文

作者: M.N.M. 時間: 07-2-24 15:06
4.
(y-1)(x^2)+(x-1)(y^1)=1

(x^2)y-(x^2)+x(y^2)-(y^2)=1

(x^2)y+x(y^2)+xy - (x^2)-xy-x - xy-(y^2)-y + x+y+xy=1

(x^2)y+x(y^2)+2xy- (x^2)-xy-2x -xy-(y^2)-2y +2x+2y+4=5

(x+y+2)(xy-x-y+2)=5

(i)
若x+y+2=1，xy-x-y+2=5時

x+y=-1

x=-y-1代入xy-x-y+2=5

(-y-1)y-(-y-1)-y+2=5

(y^2)+y+2=0

判別式D<0

所以無解

(ii)
若x+y+2=5，xy-x-y+2=1

x+y=3

x=-y+3代入xy-x-y+2=1

(-y+3)y-(-y+3)-y+2=1

(y^2)-3y+2=0

(y-2)(y-1)=0

y=1 or 2代入x+y=3

x=2 or 1

(x，y)=(1，2)，(2，1)

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