鐵之狂傲

標題: 挑戰76 [列印本頁]
作者: M.N.M.    時間: 07-2-24 13:41
標題: 挑戰76
1.因式分解:(x^8)+98(x^4)(y^4)+(y^8)

2.平面給定1004個點，將連接每兩點的線段中點塗成黑色，證明:至少有2005個點，且能找到恰有2005個黑點的點集

3.任給12個不同的整數，證明:其中必存在8個數，將它們用適當的運算符號連起來後運算的結果是3465的倍數

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-24 05:12 PM 編輯 ]
作者: ‧幻星〞    時間: 07-2-24 16:50
2.

能讓最多黑點重疊的情況即是這1004點共線
且每點和其相鄰的點之間的距離都相等

此時恰好有2005個點

1003個在點和點之間
1002個在中間1002個點上

以上是最少黑點的情況

故至少會有2005個點
而當這1004點共線且每點和其相鄰的點之間的距離都相等時
會恰有2005個黑點
作者: ‧幻星〞    時間: 07-2-24 17:06
3.

應該要說不一樣的整數吧..要不然12個都是0..＝　＝

3465=5*7*9*11

除以11的餘數有11種
所以12個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為11的倍數
取這兩數

剩下10個數
而除以9的餘數有9種
所以10個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為9的倍數
取這兩數

剩下8個數
而除以7的餘數有7種
所以8個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為7的倍數
取這兩數

剩下6個數
而除以5的餘數有5種
所以6個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為5的倍數
取這兩數

以上共八數，相減之後為5,7,9,11的倍數，相乘即可
作者: tzhau    時間: 07-2-24 20:24
1.　x^8+98(x^4)(y^4)+y^8

　=[x^8+16(x^6)(y^2)+66(x^4)(y^4)+16(x^2)(y^6)+y^8]-16[(x^6)(y^2)-2(x^4)(y^4)+(x^2)(y^6)]

　=[x^4+8(x^2)(y^2)+y^4]^2 - [4(x^3)y-4x(y^3)]^2

　=[x^4+4(x^3)y+8(x^2)(y^2)-4x(y^3)+y^4][x^4-4(x^3)y+8(x^2)(y^2)+4x(y^3)+y^4]

　硬湊出來...

　

　下面圖片是昌爸網站其他大大的解法

[ 本文最後由 tzhau 於 07-2-24 08:57 PM 編輯 ]

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