鐵之狂傲

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作者: z330380202    時間: 07-3-31 11:09
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作者: 傲月光希    時間: 07-3-31 15:09
我們來考慮以下情形

S2=1+1/2=1+1/2
S4=1+1/2+(1/3+1/4)>1+1/2+(1/4+1/4)=1+1/2+1/2=1+2/2
S8=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)>1+1/2+1/2+(1/8+1/8+1/8+1/8)=1+1/2+1/2+1/2=1+3/2
S16=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16)>1+1/2+1/2+1/2=1+4/2
...
S2^n=1+1/2+...+1/(2^n)>1+n/2

因為Σ(1+n/2)是發散，因此S2^n是發散，而S2^n是Sn的部分和，因此當n逼近無窮大，1+1/2+1/3+...是發散

另外，也可以利用微積分的方法
因為1/n為非負實數，對每個n為正整數
因此可以利用"積分審驗法"(級數必須是遞減)或"p級數審驗法"

由積分審驗法，Σf(n)從1到無窮收斂若且唯若∫f(x)dx從1到無窮收斂
因為從1到無窮∫(1/x)dx=ln∞-ln1=∞ 發散
所以1+1/2+1/3+...發散

由p級數審驗法得知
當(1/n^p)的p<=1時此級數發散，反之收斂
因為1/n=1/(n^1)，所以發散

我放了一個計算1+1/2+...+1/n的計算程式(C語言寫的，很簡陋)，你可以自己下載看看並算算會不會逼近到一個差不多的值，不過不可能

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-3-31 03:43 PM 編輯 ]

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作者: z330380202    時間: 07-3-31 15:31
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作者: 傲月光希    時間: 07-3-31 15:42

原文由z330380202 於 07-3-31 03:31 PM 發表
這個問題我還慢慢加，加到後來都塊暈了(只是想看會不會加到收斂)，原來是這樣證明~太感謝大大了，今天不小心把聲望給用完了~明天在雙手補上，請您見諒。 ...

不用補了，這裡是數學版，幫助人是應該的^^

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作者: z330380202    時間: 07-3-31 16:24
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作者: 傲月光希    時間: 07-3-31 16:39

原文由z330380202 於 07-3-31 04:24 PM 發表
請問一下大大你sum這個程式是用哪個軟體寫的，可以使用中文，而且數字可以打很大(打1000000000都不會爆掉真是太神奇了)，因為我也想學習寫程式來解決數學上的問題，謝謝。 ...

我是用Dev C++這個免費軟體寫的，這是我們程式語言課必備軟體

下載位址:http://teach.nknu.edu.tw/mlwu/lang/devcpp-4.9.9.2_setup.exe

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作者: z330380202    時間: 07-3-31 17:33
感謝大大連載點都貼出來了，我以前只在高一下的選修課選修過程式設計，不能輸入中文，現在有了這個感覺真的很不錯，不過要除理數學問題，可能還需要在多學一些才行。

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作者: M.N.M.    時間: 07-3-31 18:25
有錯誤的話請指證

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作者: z330380202    時間: 07-3-31 20:05
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作者: M.N.M.    時間: 07-3-31 20:10

原文由z330380202 於 07-3-31 08:05 PM 發表
版主的回答感覺好深奧難懂喔，友好機個符號都看不懂，也不知道是做什麼的，不過還是謝謝版主大大的回答。><.....程度差太多

在下這是用大一的證法

其實P級數還有個特別之處，就是P級數的分母為正整數時是不存在整數的

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作者: z330380202    時間: 07-3-31 20:34
大一的證法，難怪看不懂，我所學的東西太少了，希望版主能告訴我要看懂這篇算式，需要先預習哪些東西，不然我只能看著答案跟看一堆的符號沒有差別了，謝謝。

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作者: 傲月光希    時間: 07-3-31 23:39

原文由M.N.M. 於 07-3-31 06:25 PM 發表
有錯誤的話請指證

小M是積分審驗法跟P級數一起證吧

其實可以先證積分然後在用積分證P級數就很方便了，不然大一微積分怎麼會把積分審驗法放在P級數之前呢?

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