鐵之狂傲

標題: 挑戰85 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 07-4-26 19:31
標題: 挑戰85
1.求f(x)=(x^19)+(x^5)+2被(x^5)+(x^2)所除之餘式

2.設(x^3)-2(x^2)-x+k=0(k>0)有一實根為另一實根之二倍，試解此方程式

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作者: turnX    時間: 07-4-26 22:17

原文由M.N.M. 於 07-4-26 07:31 PM 發表
1.求f(x)=(x^19)+(x^5)+2被(x^5)+(x^2)所除之餘式

雖然笨了點
但用暴力的長除法應該也可以

餘式為 -x^4-x^2+2

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作者: M.N.M.    時間: 07-4-26 22:20

原文由turnX 於 07-4-26 10:17 PM 發表


雖然笨了點
但用暴力的長除法應該也可以

餘式為 -x^4-x^2+2

答案是對了

但是沒有計算過程就不能算對

用盡腦力打出算式或用圖檔方式吧(拍肩

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作者: turnX    時間: 07-4-26 22:29

原文由M.N.M. 於 07-4-26 07:31 PM 發表
2.設(x^3)-2(x^2)-x+k=0(k>0)有一實根為另一實根之二倍，試解此方程式

由於虛根是成對出現,目前知道有兩實根,因此另一根亦為實根
設實根為 a,2a,b
根據三次式根與係數的關係
k=a*(2a)*b
a+2a+b=2  -----------(1)
2a*a+3ab=-1 ---------(2)
由(1)(2)代入解聯立可得
a=1 or -1/7

當a=1時,另一根為2,b=-1
所以k=-(1*2*-1)=2>0

當k=-1/7時,另一根-2/7,b=17/7
由於k>0所以此答案不符

k=2
三根為 -1,1,2

[ 本文最後由 turnX 於 07-4-26 11:29 PM 編輯 ]

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作者: turnX    時間: 07-4-26 22:30

原文由M.N.M. 於 07-4-26 10:20 PM 發表
答案是對了
但是沒有計算過程就不能算對
用盡腦力打出算式或用圖檔方式吧(拍肩

嗚~~
M大好嚴格喔
沒關係,保留下來想新方法XD

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作者: cfc21    時間: 07-4-27 00:16
標題: 用同餘
以x^5+x^2為除式，則x^5同餘-x^2 → x^19=(x^5)^3*x^4同餘(-x^2)^3*x^4同餘-x^10同餘-(x^5)^2同餘-(-x^2)^2同餘-x^4

故得x^19+x^5+2同餘-x^4-x^2+2

另解:

因為x^5+x^2=x^2*(x^3+1)

當除式為x^2時，x^19+x^5+2同餘2；當除式為x^3+1時，x^3同餘-1 → x^19+x^5+2同餘-x^2+x+2

令x^19+x^5+2=x^2*(x^3+1)*Q(x)+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

則dx+e=2(x^2同餘0) → d=0且e=2；

而-ax-b+cx^2+dx+e=-x^2+x+2(x^3同餘-1) → cx^2+(d-a)x+(e-b)=-x^2+x+2

故得知 c=-1，a=-1，b=0

所以餘式為 -x^4-x^2+2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-4-28 10:01 PM 編輯 ]

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