鐵之狂傲

標題: 挑戰87 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 07-5-1 18:22
標題: 挑戰87
1.設△ABC為銳角三角形，F在AB上且CF⊥AB;M是AC中點

證明:若BM=CF且∠MBC=∠FCA，則△ABC為正三角形

2.

挑戰87-2.GIF

作者: Exception 時間: 07-5-1 20:42
第一題：

證：
(一)
1.連FM。
2.因為△AFC為直角△，M為AC之中點，所以MA=MC=MF。
3.因為MC=MF，所以△FMC為等腰△。
4.因為△FMC為等腰△，所以∠MFC=∠MCF(令其=∠1)。

(二)
1.∠1=∠MFC=∠MCF=∠ACF=∠MBC，所以F、M、C、B共圓。
2.因為F、M、C、B共圓，所以∠BFC=∠BMC=90度，∠FBM=∠MCF=∠1。

(三)
1.因為
  ∠BFC=∠BMC=90度 (R)
   CF=BM             (H)
   CB=BC             (S)
  因此△FCB全等△MBC (RHS)，所以∠FCB=∠MBC=∠1。

(四)
1.△MBC中，∠MCF=∠FCB=∠MBC=∠1。
  ∠MBC+∠MCB+∠BMC=180度(內角和)。
  所以90度+3∠1=180度，所以2∠1=60度。
2.∠ABC=∠ACB=2∠1=60度。
3.所以△ABC為正△。

第二題：

(1)x=1

左式=1992*2000=(1996-4)*(1996+4)=1996^2-16
右式=1996^2
左式≠右式，所以x≠1。

(2)x≠1

左式=[(x^1992-1)/(x-1)]*[(x^2000-1)/(x-1)]=[(x^1992-1)*(x^2000-1)]/[(x-1)^2]
右式=[(x^1996-1)/(x-1)]^2=[(x^1996-1)^2]/[(x-1)^2]
0=左式-右式=[(x^1992-1)*(x^2000-1)-(x^1996-1)^2]/[(x-1)^2]
(因為x≠1，所以(x-1)^2≠0)

0=(x^1992-1)*(x^2000-1)-(x^1996-1)^2
=[x^3992-(x^1992+x^2000)+1]-[x^3992-2*x^1996+1]
=-x^1992-x^2000+2*x^1996=-(x^8-2*x^4+1)*(x^1992)
=-[(x^4-1)^2]*(x^1992)=-{[(x^2-1)*(x^2+1)]^2}*(x^1992)
=-{[(x-1)*(x+1)*(x-i)*(x+i)]^2}*(x^1992)

解得x=0,1,-1,i,-i，但x≠1
所以x=0,-1,i,-i

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-5-1 10:49 PM 編輯 ]

作者: M.N.M. 時間: 07-5-1 22:55

原文由Exception 於 07-5-1 08:42 PM 發表
第一題：

證：
(一)
1.連FM。
2.因為△AFC為直角△，M為AC之中點，所以MA=MC=MF。
3.因為MC=MF，所以△FMC為等腰△。
4.因為△FMC為等腰△，所以∠MFC=∠MCF(令其=∠1)。

(二)
1.∠1=∠MFC=∠MCF=∠ACF=∠MBC，所以F、M、C、B共 ...

置頂文有數學符號可用

可用符號的必須盡量使用

第二題

答案是對了

但用"左式""右式"來表示並不能算對

恆等式無左右之分

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-5-1 10:56 PM 編輯 ]

作者: Exception 時間: 07-5-1 23:06
標題: 回覆 #3 M.N.M. 的文章
我只是不想再複製題目一次
所以才用"左式"跟"右式"
來表達我想要做的步驟
既然要解"左式=右式"的方程式
可以等價於解"0=左式-右式"
因此我認為我並沒有邏輯推論上的錯誤

作者: ‧幻星〞 時間: 07-5-12 19:18
第一題不同的作法

連FM
因為△AFC為直角△，M為AC之中點，所以MA=MC=MF
∠MFC=∠MCF

在BC上取一點K使得∠KMB=∠KBM
因∠KMB=∠MFC，∠KBM=∠MCF，BM=FC
所以△MFC全等於△KMB(ASA)

MF=MC=KB=KM
∠KMB=∠KBM=∠MFC=∠MCF，令其角為∠1

因MF=MK，∠FMB=∠KMB，BM=BM
所以△FMB全等於△KMB(SAS)
∠FBM=∠FMB=∠KMB=∠KBM

因MK=MC
∠MCK=∠MKC=2∠1
因MF=MA
∠MAF=∠MFA=2∠1
∠ABC=∠MBF+∠MBK=2∠1

三角形ABC三個角相等
故為正三角形
證畢

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