鐵之狂傲

標題: 挑戰88 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 07-5-3 19:44
標題: 挑戰88
1.曲線[(x-12)^2]+y^2=1上一點P，y=(x^2)-(15/2)上點Q，求PQ長之最小值

2.設兩正數之和為n，試定此兩數，使一數與另一數平方之乘積為極大

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-5-4 10:00 PM 編輯 ]

作者: dn1841 時間: 07-5-3 20:08
1.設拋物線上1點(a,a^2-(15/2))
將點帶入圓方程式可得點與圓心距離.在減掉半徑即為所求
-------------------------------------------------
令帶入後方程式為f(x)=4x^4-56x^2-96x+801
=>f'(x)=16x^3-112x-96=16(x+1)(x+2)(x-3)
則f(x)在x=3時有最小值343
所以最短距離為343-1=342
---------------------------------------
這次用剛學到的微分的方式來做.不知道對不對

2.
設一數為x.另一數為n-x
另所求乘績為f(x)=x(n-x)^2=x^3-2nx^2+n^2x
f'(x)=3x^2-4nx+n^2=(3x-n)(x-n)
則f(x)在x=(n/3)時有極大值
所以兩數=(n/3),(2n/3)

[ 本文最後由 dn1841 於 07-5-3 09:11 PM 編輯 ]

作者: M.N.M. 時間: 07-5-3 21:51

原文由dn1841 於 07-5-3 08:08 PM 發表
1.設拋物線上1點(a,a^2-(15/2))
將點帶入圓方程式可得點與圓心距離.在減掉半徑即為所求
-------------------------------------------------
令帶入後方程式為f(x)=4x^4-56x^2-96x+801
=>f'(x)=16x^3-112x-96=16(x+1)(x+2)(x-3)
則f(x)在x=3時有最小值343
所以最短距離為343-1=342
---------------------------------------
這次用剛學到的微分的方式來做.不知道對不對

2.
設一數為x.另一數為n-x
另所求乘績為f(x)=x(n-x)^2=x^3-2nx^2+n^2x
f'(x)=3x^2-4nx+n^2=(3x-n)(x-n)
則f(x)在x=(n/3)時有極大值
所以兩數=(n/3),(2n/3)

第一題不正確

第二題算式有漏掉一些東西

x≠n是要強調的

再來是x=n/3時為什麼有極大值，這在算式中並不能跳過

作者: cfc21 時間: 07-5-3 23:29
標題: 第2題
設兩正數為a、b
a+b=n → a+(b/2)+(b/2)=n → 由算幾不等式得a+(b/2)+(b/2)大於等於3*[(a*b^2)/4]^(1/3)
兩邊取3次方得 n^3大於等於(27/4)*a*b^2
故a*b^2小於等於(4/27)*n^3
當a=(b/2)=n/3時等號成立
即a=n/3，b=2n/3時，a*b^2有最大值(4/27)*n^3

※ 第1題 → (3/2)*37^(1/2)-1

[ 本文最後由 cfc21 於 07-5-3 06:30 PM 編輯 ]

作者: cfc21 時間: 07-5-4 08:54
標題: 第一題(講得不太好)
解題的過程：http://163.32.74.12/cfc/960504/960504.html

節省時間，省略了用二次微分判斷極值(極大或極小)的說明，加上心算不太好，所以......，就請參考看看！

作者: 傲月光希 時間: 07-5-4 09:43

原文由cfc21 於 07-5-3 11:29 PM 發表
設兩正數為a、b
a+b=n → a+(b/2)+(b/2)=n → 由算幾不等式得a+(b/2)+(b/2)大於等於3*^(1/3)
兩邊取3次方得 n^3大於等於(27/4)*a*b^2
故a*b^2小於等於(4/27)*n^3
當a=(b/2)=n/3時等號成立
即a=n/3，b=2n/3時，a*b^2有最 ...

我對這答案有異議

你怎麼知道n一定是3的倍數?原設可沒說喔，假如我改成"設兩正整數之和為14，試定此兩數，使一數與另一數平方之乘積為極大"

照你這樣寫答案就是14/34.66...=跟28/3=9.33...囉?題目是要兩個正整數呢

所以說小M，你沒看清楚喔(笑

作者: cfc21 時間: 07-5-4 10:17
標題: 哈

原文由傲月光希 於 07-5-4 01:43 AM 發表

我對這答案有異議

你怎麼知道n一定是3的倍數?原設可沒說喔，假如我改成"設兩正整數之和為14，試定此兩數，使一數與另一數平方之乘積為極大"

照你這樣寫答案就是14/34.66...=跟28/3=9.33...囉?題目是要兩個 ...

是我沒看清楚導致他沒看清楚啦！

但我覺得原題目來源應是出「兩正數」吧:大笑

在說明裡，我是用「兩正數」......

[ 本文最後由 cfc21 於 07-5-4 02:19 AM 編輯 ]

作者: 傲月光希 時間: 07-5-4 10:43

原文由cfc21 於 07-5-4 10:17 AM 發表

是我沒看清楚導致他沒看清楚啦！

但我覺得原題目來源應是出「兩正數」吧:大笑

在說明裡，我是用「兩正數」......

所以只能等小M來修改了(笑

我覺得就算是正整數，也可以修改成"上高斯"或"下高斯"來討論

[ 本文最後由傲月光希於 07-5-4 10:45 AM 編輯 ]

作者: Exception 時間: 07-5-4 11:38
第一題：

令G:y=x^2-15/2,H:(x-12)^2+y^2=1
由幾何三角不等式容易看出
固定G上的點(x,y)，到H上的距離≧((x,y)到(12,0)的距離-1)=((x-12)^2+y^2)^(1/2)-1

令f(x)=(x-12)^2+(x^2-15/2)^2=x^4-14*x^2-24*x+801/4
(f(x)為"G上點(x,y)到(12,0)的距離之平方")
微分得到
f'(x)=4*x^3-28*x-24=4(x+2)(x+1)(x-3)
f:  ↘↗↘↗

所以最小值
發生在x=-2或x=3
f(-2)=833/4
f(3)=333/4

所求=f(3)^(1/2)-1=(333/4)^(1/2)-1=(3/2)*(37)^(1/2)-1

------------------------------------------------------------
第二題：

x+y=n
x=n-y
f(y)=(n-y)*y^2=-y^3+n*y^2
f'(y)=-3*y^2+2*n*y=-y*(3y-2n)
y在0,2n/3有極值
f:↘↗↘
因為y>0
所以y在2n/3處有最大值

又因為x,y均為正整數
所以分以下三種情況：
(n≧2)

(1)n=3t  ,(t≧1)
x=n/3,y=2*n/3

(2)n=3t+1,(t≧1),考慮[2*n/3],[2*n/3]+1
<1>y=[2*n/3]=(2*n-2)/3
   x=n-y=(n+2)/3
<2>y=[2*n/3]+1=(2*n+1)/3
   x=n-y=(n-1)/3
因為
((n-1)/3)*((2*n+1)/3)^2 -((n+2)/3)*((2*n-2)/3)^2=(n-1)/3>0
所以取
x=((n-1)/3),y=((2*n+1)/3)
(注意x,y≧1)

(3)n=3t-1,(t≧1),考慮[2*n/3],[2*n/3]+1
<1>y=[2*n/3]=(2*n-1)/3
   x=n-y=(n+1)/3
<2>y=[2*n/3]+1=(2*n+2)/3
   x=n-y=(n-2)/3
因為
((n+1)/3)*((2*n-1)/3)^2-((n-2)/3)*((2*n+2)/3)^2=(n+1)/3>0
所以取x=((n+1)/3),y=((2*n-1)/3)
(注意x,y≧1)

結論：
(n≧2)
n=3t  ,(t≧1),x=n/3,y=2*n/3
n=3t+1,(t≧1),x=((n-1)/3),y=((2*n+1)/3)
n=3t-1,(t≧1),x=((n+1)/3),y=((2*n-1)/3)

[ 本文最後由 Exception 於 07-5-4 03:53 AM 編輯 ]

作者: M.N.M. 時間: 07-5-4 22:02

原文由傲月光希 於 07-5-4 10:43 AM 發表

所以只能等小M來修改了(笑

我覺得就算是正整數，也可以修改成"上高斯"或"下高斯"來討論

一切是在下多打了"正"(毆

真抱歉(眾毆

所以以正整數討論出來的答案

這次就算對了

作者: 神光 時間: 07-5-5 21:48

原文由M.N.M. 於 07-5-3 07:44 PM 發表
1.曲線[(x-12)^2]+y^2=1上一點P，y=(x^2)-(15/2)上點Q，求PQ長之最小值

[(x-12)^2]+y^2=1
微分後得
dy by dx=(12-x)/y

又,y=(x^2)-(15/2)
微分後得 dy by dx=2x

若PQ之長為極小,則
12-x=2xy
把y=(x^2)-(15/2)代入,
=> x^3-7x-6=0
=> (x+1)(x+2)(x-3)=0
x=-1 或 x=-2 或 x=3
當x=-1,y=-13/2
當x=-2,y=-7/2
當x=3,y=3/2

從附圖所見,當P點取(3,3/2)時,PQ為最小

PQ長之最小值= PC - 圓的半徑=[(3-12)+(3/2-0)]^1/2 -1=(3/2)*(37)^(1/2)-1

[ 本文最後由神光於 07-5-6 11:29 AM 編輯 ]

未命名.JPG

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