鐵之狂傲

標題: 挑戰99 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 07-6-18 23:47
標題: 挑戰99
1.如圖(99-1)，設AD是 △ABC的角平分線，證明:AD^2=AB*AC-BD*CD

2.已知正方形ABCD的邊長為1，P為AB上任一點，AD上的點Q滿足AP+AQ+PQ=2，求證:∠PCQ為定角

作者: ‧幻星〞 時間: 07-6-24 17:27
2.已知正方形ABCD的邊長為1，P為AB上任一點，AD上的點Q滿足AP+AQ+PQ=2，求證:∠PCQ為定角

PQ=2-AQ-AP=QD+PB
在AD延長線上取一點M使得MD=PB

因為MD=PB
DC=BC
∠MDC=∠PBC
所以三角形MDC全等於三角形PBC(SAS)
得MC=PC,∠MCD=∠PCB，即∠MCP=∠BCD=90度

因為MQ=MD+QD=QD+PB=PQ
MC=PC
QC=QC
所以三角形MQC全等於三角形PQC(SSS)
所以∠PCQ=∠MCQ=∠MCP/2=45度為定角

作者: skywalkerJ.L. 時間: 07-6-25 19:13
1.
延長AD交圓於一點E,連CE

因為∠B=1/2AC弧=∠E,又∠BAD=∠EAC

所以三角形ABD相似於三角形AEC

所以AB/AD=AE/AC

AB*AC=AE*AD=(AD+DE)*AD=AD^2+AD*DE

=AD^2+BD*CD(圓內冪)

即AD^2=AB*AC-BD*CD

作者: ‧幻星〞 時間: 07-6-26 21:43
1.如圖(99-1)，設AD是 △ABC的角平分線，證明:AD^2=AB*AC-BD*CD

由角平分線定理
可知AB*CD=AC*DB
設∠ADC=β
由餘弦定理
AB^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cos(180-β)=AD^2+BD^2+2AD*BD*cosβ...1式
AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cosβ...2式

1式*CD+2式*BD得
AB^2*CD+AC^2*BD=(BD+CD)(AD^2+BD*CD)
AB*AC*CD+AB*AC*BD=(BD+CD)(AD^2+BD*CD)
AC*AB=AD^2+BD*CD
AD^2=AC*AB-BD*CD

紅色的地方之前打錯了..＞＜

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-6-28 09:17 PM 編輯 ]

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