鐵之狂傲

標題: 挑戰104 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 07-7-13 10:39
標題: 挑戰104
普通
1.設6(x^2)+x-15=(ax+b)(cx+d)，但a，b，c，d均為整數，求a+b+c+d之值?

2.以100x+100除多項式(x^2)+2x+3所得的餘式為?

難度
1.a，b，c均為實數，且a+b+c=0，(a^2)+(b^2)+(c^2)=1，求(a^4)+(b^4)+(c^4)為?

2.求3(x^2)+2x-1除[(6x^2 +4x -3)^13]+x+4的餘式

資優
1.比較下面的兩數的大小:
A=[(1999^1111)+1] / [(1999^2222)+1]  ，B=[(1999^2222)+1] / [(1999^3333)+1]

2.已知a/[(a^2)+a+1]=6，試求(a^2)/[(a^4)+(a^2)+1]的值

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作者: ‧幻星〞    時間: 07-7-13 11:15
1.a，b，c均為實數，且a+b+c=0，(a^2)+(b^2)+(c^2)=1，求(a^4)+(b^4)+(c^4)為?

a+b+c=0
c=-a-b

a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+ab)=1
a^2+b^2+ab=1/2

a^4+b^4+c^4=2(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)=2(a^2+b^2+ab)^2=2*1/4=1/2



1.比較下面的兩數的大小:
A=[(1999^1111)+1] / [(1999^2222)+1]  ，B=[(1999^2222)+1] / [(1999^3333)+1]

設1999^1111=x
x>0

A=(x+1)/(x^2+1)
B=(x^2+1)/(x^3+1)

A-B=[(x+1)(x^3+1)-(x^2+1)(x^2+1)]/[(x^2+1)(x^3+1)]
=(x^4+x+x^3+1-x^4-2x^2-1)/[(x^2+1)(x^3+1)]
=(x^3-2x^2+x)/[(x^2+1)(x^3+1)]
=x(x-1)^2/[(x^2+1)(x^3+1)]>0

A>B

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-7-13 12:09 PM 編輯 ]

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作者: dn1841    時間: 07-7-13 11:45
2.(a^2)/[(a^4)+(a^2)+1]={a/[(a^2)+a+1]}X{a/(A\a^2-a+1}
    =6X{a/(a^2)-a+1}
又a=6(a^2)+6a+6--->6(a^2)=-5a-6
所以6a/(a^2)-a+1=36a/-11a=36/-11....

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作者: turnX    時間: 07-7-13 13:03

原文由M.N.M. 於 07-7-13 10:39 AM 發表
難度
2.求3(x^2)+2x-1除[(6x^2 +4x -3)^13]+x+4的餘式

令3(x^2)+2x-1=A

[(6x^2 +4x -3)^13]+x+4=(2A-1)^13+(x+4)=A( Q'(A) )-1+x+4=A( Q'(A) )+(x+3)

Ans:x+3

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作者: turnX    時間: 07-7-13 13:24

原文由M.N.M. 於 07-7-13 10:39 AM 發表
資優
2.已知a/[(a^2)+a+1]=6，試求(a^2)/[(a^4)+(a^2)+1]的值

簡單的計算方式被解走,只好用暴力方式

知 a/(a^2+a+1)=6
得 a^2=-5a/6-1 ---------(a)
今令A=a^2
再求 A^2=a^4=235a/216+11/36 -----(b)

由(a)(b)求  a^2/(a^4+a^2+1)=-(5a/6+1)/(235a/216+11/36-5a/6-1+1)=-36/11

Ans:-36/11

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作者: 流刃如火    時間: 07-7-13 15:17

原文由M.N.M. 於 07-7-13 10:39 AM 發表
普通
1.設6(x^2)+x-15=(ax+b)(cx+d)，但a，b，c，d均為整數，求a+b+c+d之值?

直接用十字交乘法可得：
6(x^2)+x-15=(2x-3)(3x+5)因為題目只規定a,b,c,d均為整數
故也可分解成(-2x+3)(-3x-5)
所以a+b+c+d=7或-7

2.以100x+100除多項式(x^2)+2x+3所得的餘式為?
以100x+100除的餘數與以x+1除的餘數相同
令多項式(x^2)+2x+3=f(x)
餘數R(x)=f(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=2
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不知道有沒有算錯....

[ 本文最後由 流刃如火 於 07-7-13 03:24 PM 編輯 ]

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