鐵之狂傲

標題: 暑假挑戰50 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 07-7-15 17:58
標題: 暑假挑戰50
此主題活動結束

將回復成一般挑戰題

解一題+2而已

至於獎勵會盡快出來

未解完的解答會慢慢補上

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這是總結算時
加算的↓
第一名鐵幣2000，聲望+100
第二名鐵幣1000，聲望+50
第三名鐵幣500，聲望+25
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有疑問請到
https://www.gamez.com.tw/thread-294715-1-1.html
發問
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1.求所有形如(n^n)+1且不超過10^19的質數，這裏的n為正整數

2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

3.試求下列聯立方程組的實數解
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7
(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7

4.將3^11表示成k個連續正整數的和。試求項數k的最大值

5.一盒錄影帶可錄製2集電視劇加1個小品，一般地，或著錄製2個小品加3首流行歌曲，某同學準備錄製7集電視劇，11個小品和20首流行歌曲，他最少需要多少盒
錄影帶才可能錄製完所有節目?(註:每集電視劇的時間相等，每集小品時間相等，
每首歌曲的時間相等，且每集小品的時間大於每首歌曲的時間)

6.環形跑道周長500米，甲、乙兩人按順時針沿環形跑道同時、同地起跑，甲每分鐘跑60米，乙每分鐘跑50米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息1分鐘，那麼甲首次追上乙需花多少分鐘?後又追上乙時距起跑時間需多少分鐘?

7.如圖(活動-7)，S1和S2是直角三角形ABC的兩個內接正方形，已知S1的面積為441，S2的面積為440，求:AC+BC之值

8.已知函數f(x)對於任意實數x，都有
f(x)=f(398-x)=f(2158-x)=f(3214-x)
問:函數值列f(0)，f(1)，f(2)，...，f(999)中最多有多少個不同值?

9.在小於10^4的正整數中，有多少個正整數n，使(2^n)-(n^2)被7整除

10.現有21個車站，n家客運公司，若每家客運公司都在5個車站兩兩之間經營客運路線，且每個車站之間都至少有一直達路線，則客運公司至少需要幾家？

11.有一數列:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，...。設其前n項之和為Sn，試求:lim(n→∞) (Sn)/n=?

12.設數列<a_n>，其中a_n表最接近√a_n之正整數值，試求Σ(n=1~2003) a_n=?

13某個將軍有1000個武士，任何兩名武士或者互為朋友、或者互為敵人、或者互不相識，而且武士之間只和朋友說話。已知：對於每個武士而言，他的任何兩個朋友都互為敵人，而他的任何兩個敵人都互為朋友。若將軍要使所有武士都知道一項新命令，則將軍至少要通知多少名武士？

14.在Rt△CAB中，∠A=pi/2，∠B，∠C的平分線相交於F，且分別交對邊於D、E。求四邊形BCDE的面積:△BFC的面積=?

15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？

16.解數謎(圖見活動-16)，求被除數

17.用數字1、2、3、4、5可排列出120個不同的五位數(數字不重複)。將它們由小到大依序排列，則第一個數是12345，第二個數是12354，...，第一百二十個數是54321。請問第80個數是什麼?

18.有一個英文單字由5個字母組成，如果將26個英文字母a，b，c，...，y，z按順序對應0到25這26個整數，那麼這個單字中的5個字母對應的整數按從左到右的順序分別為x_1，x_2，x_3，x_4，x_5。已知(x_1)+3(x_2)，4(x_2)，(x_3)+2(x_4)，5(x_4)，6(x_4)+(x_5)除以26所得的餘數分別為15，6，20，9，9。則該英文單字為何?

19.在一條直線上有2n個點，相鄰兩個點間距離為1，某人從第一個點開始跳到其他點，跳了2n次後回到第1個點，這2n次跳躍將這2n個點全部都到達了，問怎樣跳才能使他的路程最遠?

20.m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數總和為1987。對於所有這樣的
m，n求3m+4n的最大值

21.有十張正面與反面都寫上一個正整數的卡片，這十張卡片上面的20個正整
數都不同，每張卡片的正反兩面上的數之和=t都相等，且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和。若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,試問第十張卡片正面的數=x為多少？

22.(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=n^5,求n之值?
SOL:
顯然n>133，n^5<133^5+110^5+(84+27)^5<3*133^5<(5/4)^5 *133^5
n<1.25*133
166≧n

任意整數與它的5次方冪的個位數相同
因此n可能為134，144，154，164

133≡1(mod3)，110≡2(mod3)，84≡0(mod3)，27≡0(mod3)
n^5≡1^5+2^5≡0(mod3)

164≡2(mod3)，154≡1(mod3)，144≡0(mod3)，134≡2(mod3)

所以n=144

23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888

24.求最小正整數n，使得存在整數x_1，x_2，...，x_n，滿足
(x_1)^4 +(x_2)^4 +...+(x_n)^4=1599

25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積

26.求方程(2^x)+(3^x)-(4^x)+(6^x)-(9^x)=1的實數解

27.求解
x+y+z=1
(x^2)+(y^2)+(z^2)=131
(x^3)+(y^3)+(z^3)=385

28.在一圓盤內，用一些小的圓盤排成正六邊形的圖形(如活動-28)。當小圓盤的半徑趨近於0時，小圓盤的面積之和與大圓盤的面積的比值是多少?

29.在平面上給定5個點。已知連接這些點的直線互不垂直，互不重合，也不平行。通過每一點向其餘4點的各條連線作垂線，這些垂線的交點最多有多少個?(不包括原來的5個點)

30.已知f(x)=a(x^2)+bx+c在[0，1]上的函數值的絕對值不超過1，求│a│+│b│+│c│的最大值

31.函數f定義在有序正整數對的集合上，且滿足下列性質:
(1)f(x，y)=x
(2)f(x，y)=f(y，x)
(3)(x+y)f(x，y)=yf(x，x+y)
求f(14，52)=?

32.分解因式:[(b-c)^6]+[(c-a)^6]+[(a-b)^6]-9[(a-b)^2][(b-c)^2][(c-a)^2]-2[(a-b)^3]
[(a-c)^3]-2[(b-c)^3][(b-a)^3]-2[(c-a)^3][(c-b)^3]

33.設想地球是一個半徑為R(=6400千米)的球，從南極至北極打一條隧道，長為2h。求地球剩下部份的體積

SOL

設一個與洞口平行的平面，設它到球心距離d，則外圓半徑平方為R^2-d^2，內圓半徑為R^2-h^2

得知面積為pi(h^2-d^2)，這平面與半徑為h的環相截得到一個圓，面積相等

由祖氏定理得知，地球剩下部份的體積為(4/3)pi(h^3)

34.三角形ABC，AB=5，BC=3，AC=19^(1/2)，P為內部一點，求
PA+PB+PC之最小值

35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

36.試確定[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位數字和後一位數字

37.設x∈R，x≠n*pi，n∈Z，求3(sin x)^2+5(csc x)^2的最小值

38.求方程(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y的整數解

39.求(x^4)+(y^4)+(z^4)=2(x^2)(y^2)+2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)+24的整數解

40.設m，n為正整數，且n>1，求│(2^m)-(5^n)│的最小值

41.圓內接四邊形ABCD的四邊長AB，BC，CD，DA的長均為正整數，DA=2005，
∠ABC=∠ADC=pi/2，且max{AB，BC，CD}<2005。求四邊形ABCD的周長的最大值與最小值

42.在1~2004中，有多少個整數可表示為[2x]+[4x]+[6x]的形式，這裏x為實數

43.求所有非負整數x、y、z，使得(2^x)+(3^y)=z^2

44.試求出所有的正整數a、b、c，其中1<a<b<c，且使得(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因數

45.求所有的正整數a、b、c，使得(a^2)+1和(b^2)+1都是質數，且滿足[(a^2)+1][(b^2)+1]=(c^2)+1

46.在已知弓形內，求一內接矩形(兩頂點在圓弧上，一邊在弦上)，使其面積最大

47.設f:N_0→N_0(非負整數集)，且對所有m、n∈N_0，有f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或1，又設f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)

48.若x，y，z是各不相同的自然數，a也是自然數，且滿足條件(1/x)+(1/y)+(1/z)=(1/a)
試求x，y，z，a

49.從1開始，依自然數的順序寫:
12345678910111213...22212222，
一直寫到2222，試問共寫了多少個0?

50.求所有正整數m，n，使得不等式
[(m+n)a]+[(m+n)b]≧[ma]+[mb]+[n(a+b)]
對任意實數a，b都成立。這裡[x]表示實數x的整數部份

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-12-17 08:06 PM 編輯 ]

活動-2.JPG

活動-7.JPG

活動-16.JPG

活動-28.JPG

作者: turnX 時間: 07-7-15 18:21

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
17.用數字1、2、3、4、5可排列出120個不同的五位數(數字不重複)。將它們由小到大依序排列，則第一個數是12345，第二個數是12354，...，第一百二十個數是54321。請問第80個數是什麼?

以1為首的有  4!=24 累計24
以2為首的有  4!=24 累計48
以3為首的有  4!=24 累計72
以41為首的有  3!=6 累計78
第79個為 42135
第80個為 42153

Ans:42153

49.從1開始，依自然數的順序寫:
12345678910111213...22212222，
一直寫到2222，試問共寫了多少個0?

個位數為0者 222 個 ---> 10 20 30 .... 2220
十位數為0者 220 個
(100~109,200~209,...,900~909...90個)
(1000~1009,1100~1009,...,1900~1909 共100個)
(2000~2009,2100~2109,2200~2209,共30個)
百位數為0者 200 個 ---> (1000~1099,2000~2099)

222+220+200=642

Ans:642個

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-15 06:36 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-15 18:26
10.現有21個車站，n家客運公司，若每家客運公司都在5個車站兩兩之間經營客運路線，且每個車站之間都至少有一直達路線，則客運公司至少需要幾家？

總共需要21*20/2=210條路線
每個公司可以供應5*4/2=10條路線
210/10=21

答：21家

13某個將軍有1000個武士，任何兩名武士或者互為朋友、或者互為敵人、或者互不相識，而且武士之間只和朋友說話。已知：對於每個武士而言，他的任何兩個朋友都互為敵人，而他的任何兩個敵人都互為朋友。若將軍要使所有武士都知道一項新命令，則將軍至少要通知多少名武士？

如果有一位武士他有兩個朋友
那這三個人之間的關係不會產生矛盾
但如果有一位武士有三位朋友
則此四人的關係會有矛盾
(可畫圖得知)
所以一位武士最多只能有2位朋友...(1)

接下來將所有五是以鏈狀方式表示：
武士1和武士2是朋友，武士2和武士3是朋友，武士3和武士4是朋友
會發現如果只有五個人不會有問題
但如果到第六個人就會和(1)產生矛盾

所以1000/5=200

答：200次

作者: 流刃如火 時間: 07-7-15 18:38
49.
1~100=>11個0(1*9+2
101~1000=>181個0(1*9*9+1*9*9+2*8+3
1001~2000=>300個0(2*9+2*9+2*9+3*9*9+3
2001~2222=>150個0(6*9+2*2+1*9*9+11
共11+181+300+150=642個0
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經過多次修改....
這次答案應該對了~~

[ 本文最後由流刃如火於 07-7-15 09:31 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-15 18:40
35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

延長EF交AD於M
AD平行BC
AM：AE=MF：FE=DF：FC=1：1
AF垂直ME
AD：DF=FC：CE
CE=2
又三角形DFC全等於三角形EFC
AE=AD+MD=AD+CE=8+2=10

答：10

15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？

設此數為X
X所有正因樹的倒數和=(X的正因數和)/X=3240/X=1620/1003
X=2006

答：2006

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-7-15 10:27 PM 編輯 ]

作者: aeoexe 時間: 07-7-15 21:05
15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？

首先從倒數和1620/1003,可得知該數為1003k,
而從正因數和3240,我們可以k<or =3(k為正整數)
但因為3240-1003=2234<3009
所以k不能為3
得k=1,2(由k為正整數及k<or=3得知)
而k=1時,正因數之和=1080<3240,
因此k不能為1,
k=2時,正因數之和為3240,正因數倒數之和為1620/1003,
所以該數為1003*2=2006
===
35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

∠DAE/2=∠DAF
tan∠DAF=(8/2)/8=1/2
tan∠DAE=(2*1/2)/(1-(1/2)^2)=4/3
∠EAB=90度-∠DAE
所以tan∠EAB=1/tan∠DAE=3/4
BE=8*3/4=6(8為正方形邊長)
AE=sqrt(6^2+8^2)=10

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-15 09:34 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-7-15 21:46

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
11.有一數列:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，...。設其前n項之和為Sn，試求:lim(n→∞) (Sn)/n=?

先分群
1/1
1/2 2/2
1/3 2/3 3/3
.....

求其和Sm為sigma(i=1~m)[i*(i+1)/(2i)]=sigma(i=1~m)[(i+1)/2]=m*(m+1)/4+m/2=m*(m+3)/4
而項數n=m*(m+1)/2
所以

lim(n→∞) (Sn)/n => lim(m→∞) (Sm)/n= lim(m→∞)[m*(m+3)/4]/[m*(m+1)/2]
=lim(m→∞) (m+3)/(2m+2)=lim(m→∞) (1+3/m)/(2+2/m)=1/2 =0.5

Ans:0.5

35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

此題我用面積相等做

設BE線段=x,EC=8-x
且 sin(角FAC)=sin(角DAF)=1/根號(5) ----(AF線段長=根號(8*8+4*4)=4根號(5),然後可求sin(角DAF) )

利用面積相等

正方形面積=三角形ADF+三角形ABE+三角形EFC+三角形AEF
8*8=4*8/2+8x/2+4*(8-x)/2+(1/2)*4根號(5)*根號(64+x^2)*(1/根號(5))
=> 64=16+4x+16-2x+2*根號(64+x^2)
=> 32=2x+2*根號(64+x^2)
=> 16-x=根號(64+x^2)
=> 256-32x+x^2=64+x^2
=> 192=32x
=> x=6

所以AE線段為根號(8^2+6^2)=10

Ans:10

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-15 10:11 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-7-15 22:27

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
22.(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=n^5,求n之值?

先用笨方法算XD

133^5=41615795893
110^5=16105100000
84^5=4182119424
27^5=14348907

(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=61917364224

61917364224=2^5*2^5*2^5*2^5*3^5*3^5=(2*2*2*2*3*3)^5=144^5

n=144

Ans:144

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-15 11:12 PM 編輯 ]

作者: aeoexe 時間: 07-7-15 22:29
腦細胞又遭秒了........
很辛苦,
辛苦地解了一題...
(吐血中)
====
16.答案:10040678,
解....

解答案不是最辛苦,
最辛苦的事是要做解....
OTL....

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-16 04:16 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-15 22:37
36.試確定[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位數字和後一位數字

[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004+[(3^1/2)-(2^1/2)]^2004
=(2^1/2)^2004+(3^1/2)^1002+(2^1/2)^1000+(3^1/2)^1002+...+(2^1/2)^2+(3^1/2)^2
=2^1002+3^1002+2^1001+3^1001+...+2+3

我們會發現
2^n+3^n
尾數是5,8,3,0,5,8,3,0不斷的循環下去..
所以2^1002+3^1002+2^1001+3^1001+...+2+3的尾數是8
又[(3^1/2)-(2^1/2)]^2004=0.00..多
所以[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位為7小數點後一位為9

4.將3^11表示成k個連續正整數的和。試求項數k的最大值
若3^11能表示成k個連續整數的和
則k可為3^11的所有奇因數或所有的因數*2(不能和原本有的重複)
而如果要為連續正整數的和的話要3^11/k>k
兩著值越相近k越大
k最大值=2*3^5

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-7-15 11:23 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-7-16 10:23

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888

step1 可知最小正整數n,個位數必為2
step2 討論2位數是否存在合適解  令n=10a+2

(10a+2)^3 mod 1000 = 600a^2+120a+8
由十位數知 a=4 or 9 但此兩者百位數皆不合

step3 討論3位數是否存在合適解  令n=100a+10b+2
(100a+10b+2)^3 mod 1000 = 200a+600b^2+120b+8
今觀察十位數知 b=4 or 9
討論b=4
200a+088  a=4 or 9
所以得解 442,942

討論b=9
200a+688  a=1 or 6    (688 為  (600*9*9+120*9+8) mod 1000 )
所以得解 192,692

在解中 442,942,192,692 中最小的為192

Ans:192

(有點小筆誤,已改正)

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-16 01:30 PM 編輯 ]

作者: y2i74kh9 時間: 07-7-16 12:51

38.求方程(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y的整數解

完全的笨方法！
(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y
x(x+1)=y[(y^3)+(y^2)+y+1]
假定y>1,先設y=2代入
x(x+1)=2[(2^3)+(2^2)+2+1]=30
x(x+1)=30=5*6
x=5

ANS: x=5 y=2

作者: tzhau 時間: 07-7-16 17:02

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

令△APE面積為a , △CDP為b

因△AFP面積：△BFP面積=△ACP面積：△BCP面積=4：3

所以(84+a)/(35+b)=4/3...................................................(1)

又因△CDP面積：△BDP面積=△ACP面積：△ABP面積

所以(84+a)/(40+30)=b/35................................................(2)

由(1)(2)可解得a=56 , b=70

所求△ABC面積為84+56+40+30+35+70=315 ...........Ans

23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888

　　  (i)從個位數來看，唯有2的三次方才會成為8 　　　所以個位數為2
　　
      (ii)從十位數來看，設十位數為x，則(10x +2)^3後兩位也為88

      (10x + 2)^3=1000x^3+600x^2+120x+8.................x為4或9

   (iii)當x=4時  ，設百位數字為y，則(100y+42)^3後三位也為888
　　　　
               (100y + 42)^3=1000000y^3+1260000y^2+529200y+74088...........y為4或9

         當x=9時  ，設百位數字為y，則(100y+92)^3後三位也為888

         (100y + 92)^3=1000000y^3+2760000y^2+2539200y+778688...........y為1或6


      因此滿足題意的數字有442、942、192、692....    最小值為192

[ 本文最後由 tzhau 於 07-7-16 05:28 PM 編輯 ]

活動2

作者: turnX 時間: 07-7-16 17:36

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

見圖

25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積

知三高h_a=6，h_b=4，h_c=3
邊比 a:b:c=1/6:1/4:1/3=2:3:4

令 a=2m , b=3m , c=4m
知邊長可算三角形面積 S 利用海龍公式
S=根號((9m/2)*(5m/2)*(3m/2)*(m/2))=6m ( 2m*6/2=6m)
=> 6m=(3m^2)*根號(15)/4
=> m=8/根號(15)

知S=6m=6*8/根號(15)
S=48/根號(15)

Ans:48/根號(15)

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-16 09:22 PM 編輯 ]

作者: eton 時間: 07-7-16 17:43

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

設    中央為O
      BC上的點為D
      AC上的點為E
      AB上的點為F

      AOE=x
      COD=y

由西瓦定理得
(y/35)(3/4)(x/84)=1-----------1

(84+x+40):(y+35+30)=4:3-------2

由上面兩個解出
x=56
y=70

△ABC的面積=315

18.有一個英文單字由5個字母組成，如果將26個英文字母a，b，c，...，y，z按順序對應0到25這26個整數，那麼這個單字中的5個字母對應的整數按從左到右的順序分別為x_1，x_2，x_3，x_4，x_5。已知(x_1)+3(x_2)，4(x_2)，(x_3)+2(x_4)，5(x_4)，6(x_4)+(x_5)除以26所得的餘數分別為15，6，20，9，9。則該英文單字為何?

整理一下
(x1)+3(x2) =26a+15
4(x2) =26b+6
(x3)+2(x4) =26c+20
5(x4) =26d+9
6(x4)+(x5) =26e+9

先求(x4)
(x4)=(26d+9)/5
(x4)為0~25的正整數
因此求出(x4)=7

再來是(x3)
將(x4)代入
(x3)=26c+6
理由同上
(x3)=6

然後(x5)
同上
(x5)=19

再來(x2)
(x2)=(26b+6)/4
可求出(x2)=8 or 21

最後是(x1)
用(x2)代入
(x1)=17 or 4
---------------------------------------
(x1)=17 or 4
(x2)=8 or 21
(x3)=6
(x4)=7
(x5)=19

對照後可得:
right or evght(不像單字)

單字為"right"

[ 本文最後由 eton 於 07-7-16 06:42 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-16 19:05
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

設左邊面積a右邊面積b

(84+a)：40=(b+35)：30
2520+30a=1400+40b
→3a+112=4b...(1)

(a+84)：70=b：35
84+a=2b
→168+2a=4b...(2)
(1)-(2)→a-56=0
a=56
b=70
三角形ABC面積=84+70+35+30+40+56=315

答：315

作者: ~冠~ 時間: 07-7-16 19:36
標題: 回覆 #1 M.N.M. 的文章
47,
If m=n=1 and we know f(m+n)-f(m)-f(n)=0or1,andf(2)=0
We get 0=f(2)=2f(1)+0(or1)
f(1)>=0,so f(1)=0
If m=2, n=1, we have f(3)=f(2)+f(1)+0or1=0or1.
but we know that f(3)>0, so f(3)=1
We can claim that f(3k)=k (k is a natural number, andk<3333)
Acrodding to f(m+n)-f(m)-f(n)=0or1,
f(3k)=f(3(k-1)+3)>=f(3(k-1))+f(3)
so, f(6)=f(3*2)>=2f(3)=2
if we have f(3m-3)>=m-1, we get f(3m)=f(3(m-1)+3)>=f(3(m-1))+f(3)>=(m-1)+1=m
Acrodding to Mathematical Induction, we can easily learn that f(3m)>=m (m>=2)
so, if there exisits a k, k<3333 such that f(3k)>k
then f(3k)>=k+1 and we also have f(9999)>=f(9999-3k)+f(3k)
>=(3333-k)+k+1=3334>3333
This is impossible, cause we've already known f(9999)=3333

so,
1982=3*660+2, f(1)=0, f(2)=0, f(m+n)-f(m)-f(n)=0or1 and f(3k)=k,
let m=1982, n=1
we get 661=f(3*661)-f(1)>=f(1982)=f(3*660+2) >=f(3*660)+f(2)=660
9999=1982*5+89,
if f(1982)=661,
f(9999)=f(1982*5+89)>=5f(1982)+f(89)=5*661+f(89)=3305+f(89)>=3305+f(87)+f(2)
=3305+29=3334>3333
That's impossible, so f(1982)=660

作者: ~冠~ 時間: 07-7-16 20:26
20,
I was fooled by this problem= =
the sum of first n odd numbers>= 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2
Even numbers are quite the same,
then1987>=total>= n^2 + m^2 + m
=>(2n)^2 + (2m+1)^2 <= 7949
(6m+3 + 8n)^2<= [(2m+1)^2 + (2n)^2]*[9 + 16]
(Cachy-Schwarz)
3m+4n <= 221.39291150684895658952593428175
(Use calculator,XD)
so, we can choose1,3,5,.....,69 and 2,4,6,...,50,52,60
m=27, n=35 3m+4n=221

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-16 03:38 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-7-16 21:57

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積

知三高h_a=6，h_b=4，h_c=3
邊比 a:b:c=1/6:1/4:1/3=2:3:4

令 a=2m , b=3m , c=4m
知邊長可算三角形面積 S 利用海龍公式
S=根號((9m/2)*(5m/2)*(3m/2)*(m/2))=6m ( 2m*6/2=6m)
=> 6m=(3m^2)*根號(15)/4
=> m=8/根號(15)

知S=6m=6*8/根號(15)
S=48/根號(15)
S=48*根號(15)/15
S=16*根號(15)/5

Ans:16*根號(15)/5

作者: ~冠~ 時間: 07-7-16 22:25
46.
O為圓心,r為半徑,令此矩形為ABCD.
其中C,D在弦上.
設弦心距為x, x+AD=y.
則AD=y-x, AB=2sqrt(r^2-y^2)
面積S=2sqrt(r^2-y^2)(y-x)
S^2=4(y-x)^2(r+y)(r-y)
我們想要用著名不等式(AM>=GM)
所以改寫等式使得可以消掉某些項,
S^2=(4/mn)*(y-x)(y-x)m(r+y)n(r-y)

選取m=(r-y)/y n=(r+y)/y
我們知道 S^2<=(4/mn)[((m+n)r-2x)/4]^4
(r+y)/y*(r-y)=y-x =>2y^2-xy-r^2=0,解得:y=[x+sqrt(x^2+8r^2)]/4
故,AD+x取此值時,有Max.

作者: turnX 時間: 07-7-16 22:57

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
21.有十張正面與反面都寫上一個正整數的卡片，這十張卡片上面的20個正整
數都不同，每張卡片的正反兩面上的數之和=t都相等，且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和。若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,試問第十張卡片正面的數=x為多少？

(1)
十張卡片上面的20個正整數
正面10個正整數
反面10個正整數
共20個

(2)
每張卡片的(正反兩面上的數之和)=t都相等
所以總和為 10t

(3)
且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和

(4)
若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,

2+5+17+21+24+31+35+36+42=213

t>42
不為
44,47,59,63,66,73,77,78
38,41,53,57,60,67,71
37,40,52,56,59,66
33,36,48,52,55
26,29,41,45
23,26,38
19,22
7

整理一下
t>42
不為
44,45,47,48,52,53,55,56,57,59,60,63,66,67,71,73,77,78

正面和 213+x
反面和 10t-213-x
213+x=10t-213-x
426+2x=10t

t=43時 x=2 不合
t=46時 x=17 不合
t=49時 x=32 但(17,32)不合
t=50時 x=37 經比對後吻合
t=51時 x=42 不合
t=54時 x=57 57 > 54 不合
t=58時 x=77 77 > 58 不合
t=61時 x=92 92 > 61 不合
可知後來 t越大 x都遠超越t

f(t)=x=5t-213 由於斜率為5>1所以x變量最後會遠超過t

十張牌為 (2,48) (5,45) (17,33) (21,29) (24,26) (31,19) (35,15) (36,14) (37,13) (42,8)
十張牌正面和為250
十張牌反面和為250
十張牌總和為500
t=50

Ans:37

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-16 11:10 PM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 09:09
37.
3(sin x)^2+5(csc x)^2=3(sin x)^2+5/(sinx)^2
=3[(sin x)^2+1/(sin x)^2]+2/(sin x)^2
>=3*2+2/1=8
so, 8 is its Min.

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 09:31
35.
Draw a segment FH perpendicular to AE.
Beacuase AFi is DAE's angle bisector, so FH=DF=4
Also, we can easily prove that FE is HFC's angle bisector.
Thus, we'll have triangle FEH and AEF are similiar.
Let CE=HE=x
then, 4/sqrt80=x/sqrt(16+x^2)
=>x=2 =>AE=8+2=10

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-17 09:34
14
四邊形BCDE/三角形BFC=(BD*CE)/(BF*CF)

由孟氏定理和內分比
BE/AE*AC/CD*DF/BF=1
BC/AC*(AB+BC)/BC*DF/BF=1
DF/BF=BC/(AB+BC)
BD/BF=(AB+BC+AC)/(AB+BC)

同理
CE/CF=(AB+BC+AC)/(AC+BC)

BD/BF*CE/CF
=(AB^2+BC^2+AC^2+2AB*AC+2AC*BC+2AB*BC)/(BC^2+AB*AC+AC*BC+AB*BC)
=(2AB^2+2AC^2+2AB*AC+2AC*BC+2AB*BC)/(AB^2+AC^2+AB*AC+AC*BC+AB*BC)
=2

答：2

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 09:45
28.設小圓盤半徑為r,
小圓盤總數可以這樣計算,
假設第m列有n+m-1個,
則總數為3n^2-3n+1
面積=(3n^2-3n+1)pir^2

大圓的面積為:(4n^2-4n+1)pir^2
若小圓盤半徑鄒近於0,
則總數可以->無限 (即n->無限)
面積比即為:
lim_(n->無限)=(3n^2-3n+1)/(4n^2-4n+1)=3/4

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-17 01:55 AM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 09:54
17,
首位數為1,2,3的各有C4取4=24種,
24*3=72.
表示第80種是在首位數為4的情況之下.
41235 41253 41325 41352 41523 41532 42135 42153
=>N0.80=42153

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 10:24
27.
[(x+y+z)^2-131]/2=-65,
xy+yz+zx=-65
[1*(131+65)-385]/3=63
xyz=63
We produce a function
f(t)=t^3-t^2-65t-63
f(t)=0, the three roots are x,y,z
Thus (x,y,z)=(-1,-7,9) and its permutation.

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 10:46
44.
What a familiar problem! I remember it was an IMO problem that I've done before...XD
Let f:N->N=(abc-1)/(a-1)(b-1)(c-1), 1<a<b<c
f(a,b,c)=1+1/(a-1)+1/(b-1)+1/(c-1)
obviously, f(a,b,c)>1,
abc-1 (a-1)(b-1)(c-1) must me two odd numbers or two even numbers.
That implies a,b,c must be all odd or all even.
1+1/(a-1)+1/(b-1)+1/(c-1)<3/(a-1) =>a<4,
if a=3, The minimum is f(3,5,7)<3
so f(3,b,c)=f(a,b,c)
let f(3,b,c)=2
we get bc-4b-4c+5=0,=>b=5 c=15
We found one solution (3,5,15)

if a=2 the min f(2,4,6)<4
f(a,b,c)=f(2,b,c)=2 or 3.
f(2,b,c)=2 (no such solution)
so, f(2,b,c)=3, 2bc-1=3(b-1)(c-1) b=4 c=8,
We found another solution, (2,4,8)

Above all, we claim that there are only two solutions,
(3,5,15)and(2,4,8)

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 12:13
34.
三角形ABC的內角均<120度,所以此點即此三角形的費馬點.
PA^2+PB^2+PA*PB+PB^2+PC^2+PB*PC+PA^2+PC^2+PA*PC
=AB^2+AC^2+BC^2=53,

由費馬點的性質PA+PB+PC=[sqrt2(a^2+b^2+c^2+4sqrt3*S)]/2
(S為ABC的Area=15sqrt3/4)
所以,最後得到的值為7...

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-18 12:41 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-7-17 14:19

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
37.設x∈R，x≠n*pi，n∈Z，求3(sin x)^2+5(csc x)^2的最小值

用微積分解

f(x)=3(sin x)^2+5(csc x)^2

f'(x)=6cosxsinx-10cotx(cscx)^2=0時有極值

f'(x)=cosx(6sinx-10/(sinx)^3)=0

已知 cosx=0 時有極值表sinx=1 or -1

討論 6sinx-10/(sinx)^3 是否為0
6sinx-10/(sinx)^3 = 0
(sinx)^4=10/6 不合 ,表示此項不為0

代入 sinx=1 or -1 至原方程 (當sinx=1,cscx=1 sinx=-1,cscx=-1)
3*1^2+5*1^2=3+5=8

Ans:8

作者: turnX 時間: 07-7-17 18:17

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
9.在小於10^4的正整數中，有多少個正整數n，使(2^n)-(n^2)被7整除

此題使用同餘
2^n-n^2 mod 7 = 0
=> [2^n mod 7]-[n^2 mod 7] = 0

觀察 2^n mod 7 之餘數的循環為 2,4,1 (每3個一循環)
觀察 n^2 mod 7 之餘數的循環為1,4,2,2,4,1,0 (每7個一循環)

取最小公倍數為一週期 lcm(3,7)=21
比對
1,4,2,2,4,1,0 | 1,4,2,2,4,1,0 | 1,4,2,2,4,1,0
2,4,1,2,4,1,2 | 4,1,2,4,1,2,4 | 1,2,4,1,2,4,1

在一週期中有 6 個數一樣 ,表示每21個連續正整數就有6個可使式子被7整除

21x<10000
x<476.xxx (有476個循環)

476*21=9996 (最後還差3個數)
1,4,2
2,4,1
最後3個數只有一個符合

所以有 476*6+1 個數會符合在小於10^4的正整數中
476*6+1 = 2857

Ans:2857

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-17 07:10 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-17 20:07
32.分解因式:[(b-c)^6]+[(c-a)^6]+[(a-b)^6]-9[(a-b)^2][(b-c)^2][(c-a)^2]-2[(a-b)^3][(a-c)^3]-2[(b-c)^3][(b-a)^3]-2[(c-a)^3][(c-b)^3]

題目=(b-c)^6+(c-a)^6+(a-b)^6-3(a-b)^2*(b-c)^2*(c-a)^2-6[(a-b)(b-c)(c-a)]^2-2[(a-b)(a-c)]^3-2[(b-c)(b-a)]^3-2[(c-a)(c-b)]^3
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4-(a-b)^2*(b-c)^2-(b-c)^2*(c-a)^2-(a-b)^2*(c-a)^2]-2{[(a-b)(a-c)]^3+[(b-c)(b-a)]^3+[(c-a)(c-b)]^3-3(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)}
=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)*1/2*{[(a-b)^2-(b-c)^2]+[(b-c)^2-(c-a)^2]+[(c-a)^2-(a-b)^2]}-2[(a-c)(a-b)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)]{[(a-c)(a-b)]^2+[(b-c)(b-a)]^2+[(c-a)(c-b)]^2-(a-b)^2(b-c)(c-a)-(a-b)(b-c)^2(c-a)-(a-b)(b-c)(c-a)^2}
=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac){[(a-b)^2-(b-c)^2]+[(b-c)^2-(c-a)^2]+[(c-a)^2-(a-b)^2]}-2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)*1/2*{[(a-c)^2(a-b)^2-(b-c)^2(b-a)^2]+[(b-a)^2(b-c)^2-(c-a)^2(c-b)^2]+[(c-a)^2(c-b)^2-(a-b)^2(a-c)^2]}
=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)^3-2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)^3
=0

瘋掉~~~

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-7-19 10:40 PM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 20:27
1.
Obviously, n must be an even number. (if n>1)
but, n can't have an odd factor,if it has an odd factor k
let n be (2^m)k
then n^n+1=(2^m)k^ (2^m)k+1 has a factor(2^m+1)>1
so, n=2^2 or 4^4 or 8^8, 16^16>10^19 (Use log)
but 8^8+1=(2^3)^8=(2^8)^3+1=(2^8+1)k
so, n=2 and 4
2^2+1=5, 4^4+1=257, 1^2+1=2.

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-18 12:00 PM 編輯 ]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-17 22:07
12.設數列<a_n>，其中a_n表最接近√a_n之正整數值，試求Σ(n=1~2003) a_n=?

設<a_n>=K
(K+0.5)^2-(K-0.5)^2=2K
所以有2K個n會使得<a_n>=K
其總和為2K^2
2*1加到45=1980最接近2003又比2003小
2003-1980=23
有23個46
45*(45+1)*(2*45+1)/3=62790
62790+23*46=63848

A：63848

19.在一條直線上有2n個點，相鄰兩個點間距離為1，某人從第一個點開始跳到其他點，跳了2n次後回到第1個點，這2n次跳躍將這2n個點全部都到達了，問怎樣跳才能使他的路程最遠?

化成絕對值
題目就變成
|a1-a2|+|a2-a3|+...|a(2n-1)-an|+|an-a1|
將1~2n填入a使上式最大
上式最大不會超過(n+n+1+...+2n)-(1+2+...+n)=1+2+..+n
所以只要讓2n個數的差都不一樣就好了
所以只要1,2n,2,2n-1,3,2n-2...,n,n+1這樣跳

[ 本文最後由 ‧幻星〞於 07-7-17 10:34 PM 編輯 ]

作者: turnX 時間: 07-7-17 22:58

19.在一條直線上有2n個點，相鄰兩個點間距離為1，某人從第一個點開始跳到其他點，跳了2n次後回到第1個點，這2n次跳躍將這2n個點全部都到達了，問怎樣跳才能使他的路程最遠?

題目等價於以下之命題

a1,a2,...,a(2n-2),a(2n-1) 為 2~2n之排列
find max{ |1-a1|+|a1-a2|+|a2-a3|+...+|a(2n-2)-a(2n-1)|+|a(2n-1)-1| }

或是

找出最長之HC(這條HC必須以1為起點) 於 K(2n)之圖, ( K(2n)為一完全圖,完全圖即每點間都有路徑相連 )

最長路徑跳法為

1 -> 2n-1 -> 2 -> 2n-2 -> 3 -> 2n-3 ->...-> n -> 2n -> 1

證明....缺! XD

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-17 11:17 PM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-17 23:28
18.
4x_2=6 (mod26)
x_2=8 or 21
if x_2=8, x_1=9
x_4=7
x_3=6
6x_4=42 42+x_5=9 (mod26) =>x_5=20
so, x_1,x_2,x_3,x_4,x_5=> 17,8,6,7,19
The word is RIGHT

作者: turnX 時間: 07-7-18 01:19

18.有一個英文單字由5個字母組成，如果將26個英文字母a，b，c，...，y，z按順序對應0到25這26個整數，那麼這個單字中的5個字母對應的整數按從左到右的順序分別為x_1，x_2，x_3，x_4，x_5。已知(x_1)+3(x_2)，4(x_2)，(x_3)+2(x_4)，5(x_4)，6(x_4)+(x_5)除以26所得的餘數分別為15，6，20，9，9。則該英文單字為何?

可以整理出五條式子

[(x_1)+3(x_2)] mod 26 = 15 ---(1)
[4(x_2)] mod 26 = 6 ---(2)
[(x_3)+2(x_4)] mod 26 = 20 ---(3)
[5(x_4)] mod 26 = 9 ---(4)
[6(x_4)+(x_5)] mod 26 = 9 ---(5)

先處理第(4)式
[5(x_4)] mod 26 = 9
(26個字母中,只有h符合 h=7)
x_4=7

再來處理第(5)式
[6(x_4)+(x_5)] mod 26 = 9
=> [42+(x_5)] mod 26 = 9
42+x_5之範圍為( 42~67 ) 而其中符合者只有61
x_5=61-42=19 (19為t)

再來處理第(3)式
[(x_3)+14] mod 26 = 20

x_3+14的範圍為(14~39) 而其中符合者只有 20
所以x_3=20-14=6 (6為g)

再來處理第(2)式
[4(x_2)] mod 26 = 6
符合者有兩個 i(8) or v(21)

如果 x_2=8 也就是i 解第(1)式
[x_1+24] mod 26 = 15
x1+24的範圍為(24~49) 而其中符合者只有41
x_1=41-24=17 (17為r)

如果 x_2=21 也就是v 解第(1)式
[x_1+63] mod 26 = 15
=> [x_1+11] mod 26 = 15
x1+11的範圍為(11~36) 而其中符合者只有15
x1=15-11=4 (4為e)

所以,所有的組合有 right 和 evght 兩個
但 evght 不是單字

Ans:right

作者: ~冠~ 時間: 07-7-18 10:57
30.
ax^2+bx+c為一二次函數,如果頂點不在[0,1]區間內或頂點在x=1上,
則在此區間內為嚴格遞增或嚴格遞減.明顯-1<=c<=1.
考慮嚴格遞增時,|a+b+c|=1 (-b>=2a)
為使值最大,所以|c|=1, 明顯c=-1.
因此a+b<=2, 因此a>=-2,選a=-2, b=4.
y=-2x^2+4x-1符合本題題意.

嚴格遞減時,b<=0,
令c=1, a+b<=-2 但a和b同時<0,
所以|a|+|b|=|a+b|=2 此時他的最大值<遞增時.

如過頂點在[0,1]內,
開口越小則a越大,最小的情況便是當頂點在(1/2,1)or(1/2,-1)
且f(1)=f(0)=-1orf(1)=f(0)=1.
第一個情況的函數為-8x^2+8x-1
第二個情況的函數為8x^2-8x+1
|8|+|-8|+|1|=17
.....17(MAX)

作者: ~冠~ 時間: 07-7-18 11:40
40.
(n>1)
|2^7-5^3|=3
We pridict 3 is the min value.
So, we're going to prove that 2^m-5^n can't be 1 or -1.
(Obviously, the value is an odd number)

Case1.
2^m-5^n=1,=>2^m-1=5^n
We discovered that 2^(4k)-1=0 (mod5)
(2^k-1)(2^k+1)(4^K+1)=2^(4k)-1
but gcd(m-1,m+1)=1or2, so both of them cna't be divided by 5.
That shows 2^m-5^n=1 is impossible.

Case2.
2^m-5^n=-1=>2^m+1=5^n
We discovered that 5^n-1=0(mod2)
No matter what natural number n is.
But, if n is an even number, we can prove it as Case1's method.
If n is an odd number,
5^n-1=(5-1)(5^(n-1)+5^(n-2)+....+1)
Unfortunately, 5^(n-1)+5^(n-2)+....+1 is an odd number.
That shows 2^m+1=5^n is impossible.

Above all, we probe that the value can be neither 1 nor -1.
So, the min is 3.

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-18 03:43 AM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-18 16:21
7.
Well, S1 should be 441, (I've seen this problem before)
Let BC=a, AC=b
(a+b)21=ab, and the height h based in AB is ab/sqrt(a^2+b^2)
so, h=21(a+b)/sqrt((a+b)^2-42(a+b))
Beacuse S2 is 440,
Let a+b=m, we have:
440^(1/2)/(m^2-42m)^(1/2)=(((21m)/(m^2-42m)^(1/2))-(440)^(1/2))/((21m)/(m^2-42m)^(1/2))
we can solve this equation,
Thus we get m=462.
so m=a+b=AC+BC=462.

作者: turnX 時間: 07-7-18 17:35

7.如圖(活動-7)，S1和S2是直角三角形ABC的兩個內接正方形，已知S1的面積為441，S2的面積為440，求:AC+BC之值

~冠~有看過題目,先用他的值算好了.如果照原題目,方程式是無解的

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-18 07:41 PM 編輯 ]

作者: aeoexe 時間: 07-7-18 18:53
1.求所有形如(n^n)+1且不超過10^19的質數，這裏的n為正整數
首先先求n的最大值,
如果n=16的話,1.844.....*10^19,
所以n只能小於或等於15,
因為y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)
y^5+1=(y+1)(y^4-y^3+y^2-y+1)
y^7+1=(y+1)(y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)
y^11+1=(y+1)(y^10-y^9+y^8-y^7+y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)
y^13+1=(y+1)(y^12-y^11+y^10-y^9+y^8-y^7+y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)
所以3^3+1,5^5+1及7^7+1,11^11+1,13^13+1也不能為質數
(分別代入y=3,5,7,11就可知道,這四個數為兩個自然數的乘積)
代入y=6^2,9^3,12^4,15^5,可由y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)得6^6+1,9^9+1,12^12+1,15^15+1為兩個自然數的乘積,即不為質數,
代入y=10^2,即可由y^5+1=(y+1)(y^4-y^3+y^2-y+1)得知10^10+1為兩個自然數的乘積,即不為質數...
代入y=14^2,即可由y^7+1=(y+1)(y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)得知14^14+1為兩個自然數的乘積,即不為質數
現在只剩下1^1+1,2^2+1,4^4+1,8^8+1,
但8^8+1=97*172961,所以不為質數,
所以形如n^n+1的質數有,1^1+1=2,2^2+1=5,4^4+1=257

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-18 06:55 PM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-18 18:57
8.
真是個刁難的題目....
f(x)=f(398-x)=f(2158-x)=> f(x) = f(1760+x)
f(x)=f(2158-x)=f(3214-x) => f(x)=f(1056+x)
以上兩式可以推出 f(x)=f(x+352),
再由f(x)=f(398-x),我們會得到f(x)=f(46-x).
於是,我們可以利用f(x)=f(46-x)=f(352+x)來試著帶入數值去找解答.
意思就是說...x=352左邊的函數圖形和右邊的對稱.
我們取 x=23-176,3-175,...,23-1,23,鏡射點即23+1,23+2,...,23+176.
如此共有177個不同的值.
如果我們按此方法在0,1,...,999中,會出現最多177個不同的值.
因此MAX=177.

作者: ~冠~ 時間: 07-7-18 20:29
26,
I thought too far, it was quite a simple problem, though.
Let 2^x=a, 3^x=b.
a+b-a^2-b^2+ab=1
=>a^2+b^2-a-b+ab+1=(( a-b)^2+( a-1)^2+(b-1)^2)/2=0
That implies a=b=1.
So that x=0.
(Only solution)

作者: turnX 時間: 07-7-18 20:36

26.求方程(2^x)+(3^x)-(4^x)+(6^x)-(9^x)=1的實數解

令 2^x=a , 3^x=b
原式=a+b-a^2-b^2+ab
f(a,b)=a+b-a^2-b^2+ab

用偏微分
df/da = 1-2a+b
df/db = 1-2b+a
當 1-2a+b=1-2b+a 時有極值
整理出來得 a=b

令 a=b=x
f(x,x)=x+x-x^2-x^2+x^2
f(x,x)=2x-x^2

這裡變成單變量
f(x)=2x-x^2

求其極值
f'(x)=2-2x
令f'(x)=0
2-2x=0 => x=1
代如入f(x) 的f(1)=1 符合我們要求的

所以a=b=1
2^x=1 , 3^x=1
只有一解當x=0時

所以x=0為所求,為唯一解
Ans: x=0

不知這樣解釋是否正確

作者: ‧幻星〞 時間: 07-7-18 23:32
12.設數列<a_n>，其中a_n表最接近√a_n之正整數值，試求Σ(n=1~2003) a_n=?

設<a_n>=K
(K+0.5)^2-(K-0.5)^2=2K
所以有2K個n會使得<a_n>=K
其總和為2K^2
2*1加到44=1980最接近2003又比2003小
2003-1980=23
有23個45
44*(44+1)*(2*44+1)/3=58740
62790+23*45=59775

A：59775

作者: turnX 時間: 07-7-19 05:08

39.求(x^4)+(y^4)+(z^4)=2(x^2)(y^2)+2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)+24的整數解

= =拼了

(x^4)+(y^4)+(z^4)-2(x^2)(y^2)-2(y^2)(z^2)-2(z^2)(x^2)=24
=>[(x^4)+(y^4)+(z^4)-2(x^2)(y^2)-2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)]-4(z^2)(x^2)=24
=>(x^2-y^2+z^2)^2-(2xz)^2=24
=>(x^2-y^2+z^2+2xz)*(x^2-y^2+z^2-2xz)=24
今
令x^2-y^2+z^2=A
令2xz=B

A,B都為整數,因為x,y,z為整數

開始討論

A+B=1
A-B=24  B=-23/2
或
A+B=24
A-B=1 B=23/2

都不合

-----------------------

A+B=2
A-B=12 B=-5

A+B=12
A-B=2  B=5

都不合 2xz = -5  xz=-5/2 若 2xz=5 xz=5/2

-----------------------

A+B=3
A-B=8  B=-5/2
或
A+B=8
A-B=3 B=5/2

都不合

-----------------------

A+B=4
A-B=6  B=-1

A+B=6
A-B=4  B=1

都不合

------------------------
A+B=-1
A-B=-24  B=23/2
或
A+B=-24
A-B=-1 B=-23/2

都不合

-----------------------

A+B=-2
A-B=-12 B=5

A+B=-12
A-B=-2  B=-5

都不合 2xz = -5  xz=-5/2 若 2xz=5 xz=5/2

-----------------------

A+B=-3
A-B=-8  B=5/2
或
A+B=-8
A-B=-3 B=-5/2

都不合

-----------------------

A+B=-4
A-B=-6  B=1

A+B=-6
A-B=-4  B=-1

都不合

所以根本沒有整數解存在

Ans:無解!

(這一次打的好心虛)

作者: ~冠~ 時間: 07-7-19 08:22
43...
First, we assume x,y,z>0
The left hand side of the equation is an odd number plus an even number.
So, z is an odd number=>z^2=1 (mod4)
x cannot be odd number, because 3k+2 isn't a perfect square.
=> y must be an even number.
Let x be 2m, y be 2n.
4^m+9^y=z^2, we first let m>1
z^2-4^m=(z+4)(z-4)k,
(z+4)(z-4) is 9^n if and only if z is 5.
Otherwise z+4 and z-4 can't be both devided by 3.
(We'll prove this below)
So that we can easily get one of the solutions, (x,y,z)=(4,2,5)
If m=1, 4+9^n=z^2.
(z+2)(z-2)=9^n,
(1) z is 3p+1, so z-2=3p+1-2=3(p-1)+2
(2) z is 3p+2, so z+2=3p+2+2=3(p+1)+1
So, z-2 and z+2 can't be both devided by 3.

Above all, the equation only has three iteger solutions,
(x,y,z)=(4,2,5),(0,1,2),(3,0,3)
(The last two are pretty easy to find)

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-19 01:03 AM 編輯 ]

作者: ~冠~ 時間: 07-7-19 11:40
42,
把可能的所有情況列出....
當[2x]+[4x]+[6x]
=1 (x=0.2)
=2 (x=0.3)
=3 (x=0.4)
=6 (x=0.5)
=7 (x=0.7)
=8 (x=0.8)
=9 (x=0.9)
=12 (x=1)
(括號內是當原式等於那個值時的情中一個解)
因此,12k+1,2,3,6,7,8,9,0都有辦法用[2x]+[4x]+[6x]表示之,
只要將上述的每一個x值都再加上k即可.
但是4和5<6,表示x必須<0.5,一旦x小於0.5,[2x]<1, [4x]<2 [6x]<3
而0+1+2=3 (不合)
10和11<12,表示x必須<1,一旦x小於1,[2x]<2, [4x]<4 [6x]<6
而1+3+5=9 (不合)
因此在1~2004中,12k+4,5,10,11共有668個數,
2004-668=1336.
可以用[2x]+[4x]+[6x] (x屬於R)表示出來的有1336個.

作者: ~冠~ 時間: 07-7-19 22:24
24,
1599=15 (mod16)
(2k+1)^4=1(mod15)
so, if the left hand side are all odd numbers,
n will take the smallest value 15.
We give an example,
one 5 twelve 3 two 1,
625+12*81+2*1=1599.
So, the answer is 15.

作者: ~冠~ 時間: 07-7-20 09:49
48,
Assume that the greatest common divisor of x,y,z,a is 1.
Let gcd(x,y,z)=d, so that x=dm, y=dn, z=dk
So, the original equation became
a(mn+nk+mk)=dmnk,
Because gcd(x,y,z,a)=1,
So a=mnk, d=mn+nk+mk.
We can have x=m(mn+nk+mk), y=n(mn+nk+mk), z=k(mn+nk+mk), and a=mnk
(gcd(m,n,k)=1)
Hence, all the solutions of the equation are
x=tm(mn+nk+mk), y=tn(mn+nk+mk), z=tk(mn+nk+mk), a=tmnk
(t,m,n,k>0)

作者: ~冠~ 時間: 07-7-20 23:11
48回國後再修正,應該是有漏解,不過照此來看應該不可能如板大所說只有6組解~
3.
由原式可輕易得: x^6+x^5+...+x+y^6+y^5+...+y=0
=>(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x+.....=0
(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x+(y+1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)y=0
由於(x^2+x+1)和(x^2-x+1)恆正
所以當x在0和-1之間，(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x為負的
反之為正的
若x不為0或-1，則x和y有一數介在0和-1
設0>x>-1 則y>0或y<-1
1+x^7=(1+y)(1+y^2)(1+y^4)
1>1+x^7>0
因(1+y^2)(1+y^4)>1
故0<1+y<1
0>y>-1 -><-
故答案僅有(0,0),(-1,-1)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-7-20 11:49 PM 編輯 ]

作者: appqq 時間: 07-7-31 11:28
1.因為n^n+1是質數
所以n會是偶數或1
最接近10^19的n^n的偶數是14^2
所以n=1,2,4,6,8,10,12,14
4.假設a是k個連續整數中的第一個數
k個連續整數的和=(a+a+k-1)k/2=(2a+k-1)/2
k個連續整數要=3^11
所以(2a+k-1)k/2=3^11
(2a+k-1)k=2*3^11
因此k和2a+k-1要是整數且相乘要=2*3^11
而且a是正整數
由此式可以看出
當k越大時(2a+k-1)會變小
但是(2a+k-1)要大於k a才會是正數
所以k的最大值是2*3^5

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-23 06:42 AM 編輯 ]

作者: appqq 時間: 07-8-7 11:26
2.

由於等底同高的關係
三角形ADE 和 BDE 底長度比是4:3
同理三角形AEB和它右邊的面積是35的小三角形的底邊比是2:1
這時用二次方程式
(x+40+84)/4=(y+35+30)/3 --------1.
3x+372=4y+260

(84+x)/2=y --------2.
84+x=2y
168+2x=4y

2.帶入1.
3x+372=168+2x+260
x=56
y=70
左邊小塊的三角形是56右邊的是70

16.由於第16題的圖沒辦法直接貼上，請到下面的連結
http://img171.imagevenue.com/img.php?image=56234_1225-16A_122_481lo.JPG

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-20 11:39 AM 編輯 ]

作者: appqq 時間: 07-8-7 12:41
11.
  (1/1+1/2+2/2+.....)/n
=(1+1/2+1+1/3+2/3+1+...)/n
=(1+1.5+2+2.5...)/n
設n=1+2+3...+a
=(a+1)a/2
2n=a^2+a
a^2+a-2n=0
a=[-1+(1+8n)^(1/2)]/2
所以(1/1+1/2+2/2....)/n
={{[1+1+0.5(a-1)]a}/2}/n
=[(1.5a+0.5a^2)/2]n
=(1.5a+0.5a^2)/2n
=(3a+0.5a^2)/4n
把a帶回[-1+(1+8n)^(1/2)]/2
{3[-1+(1+8n)^(1/2)]/2+{[-1+(1+8n)^(1/2)]/2}^2}/4n
={[-3+3(1+8n)^(1/2)]/2+[1-2(1+8n)^(1/2)+1+8n]/4}/4n
={[-6+6(1+8n)^(1/2)]+[1-2(1+8n)^(1/2)+1+8n]}/16n
=[-4+(1+8n)^(1/2)+8n]/16n
lim(n→∞)  [-4+(1+8n)^(1/2)+8n]/16n
=lim(n→∞) -4/16n +lim(n→∞) [(1+8n)^(1/2)/8n] +lim(n→∞) 8n/16n
=0+0+1/2=1/2
所以lim(n→∞) (Sn)/n=1/2
13.
  由於題目的要求所以同時有三個以上的朋友或敵人會造成矛盾
  所以一人最多認識兩個朋友和兩個敵人
  就如下圖

  此圖每個人都有兩個朋友和兩個敵人而且五人之間的關係也沒有造成任何衝突
  因此五個人一組
  將軍只要告訴1000/5=200個武士就可以讓全部武士都知道命令

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-20 11:37 AM 編輯 ]

作者: appqq 時間: 07-8-21 11:52
25.
同三角型面積會一樣
所以
3*4x=6*2x=4*3x
得知底邊比4:2:3
餘旋定理
c^2=a^2+b^2-2bc cosy
y=cos^-1((a^2+b^2-c^2)/(2bc))
cos^-1((16+9-4)/24)
得知底4和3的夾角角度cos^-1(21/24)
所以面積就是4*sec(cos^-1(21/24))*3/2=5.81818181....
面積約5.81單位平方

28.
19個小圓面積是19x^2pi
大圓面積是25x^2pi
所以當小圓的半就趨近於0時面積比值是
lim(x→0)(19x^2pi)/(25x^2pi)
=lim(x→0)19/25
=19/25
所以面積比值是19/25

作者: appqq 時間: 07-8-22 11:51
3.
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 --->x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7=y^7......a
(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 --->y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+y^7=x^7......b
a-b=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+2x^7=y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+2y^7
y=x
把y=x帶入第1式
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x^7
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6=0
x=y=0或-1

26.2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1
2^x(1-2^x)+3^x(1-3^x)+6^x=1
x=0

作者: appqq 時間: 07-8-23 15:33
17.P(5,5)=5!=120
120/5=24
15432.......24
25431.......48
35421.......72
41235........73

24/4=6
42135......79
42315......80

21.
2 5 17 21 24 31 25 26 42 37.........213+x

10t-213-x=213+x
10t-2x=426
x<t
所以
42.6<x<53.25
但因為x是整數
所以
43<x<53
而且上面數列裡面任兩數加起來不可以=x
所以x=50
第十張牌的正面數x=50

作者: appqq 時間: 07-8-31 20:59
23.
假設n是百位數a+十位數b+個位數c
也就是n^3=(a+b+c)^3
(a+b+c)^3=
a^3+3a^2b+3a^c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc+c^3
因為a是百位數b是十位數c是個位數
所以每一項只管會影響到末三位數的地方
所以只剩下3ac^2+3b^2c+3bc^2+c^3
所以個位數c^3=8,c=2
之後剩下的還有
3ac^2+3b^2c+3bc^2
c帶入2
12a+6b^2+12b
b=40或90第二位數才會等於8
所以a有兩種可能
12a+9600+480--->12a+10080...........1
12a+48600+1080--->12a+49680..........2
所以a=400或100
因此a=100,b=90時n最小
所以n最小會是192

35.
邊長8的正方形ABCD且F為DC之中點
E在BC之間且角DAF=FAE
所以DAF是一個1:2:5^(1/2)的三角形
用三角函數
8[csc(2tan^-1(1/2)]=10
所以EA為10

[ 本文最後由 appqq 於 07-9-6 02:30 AM 編輯 ]

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