鐵之狂傲
標題:
有關必要、充分條件的題目怎麼算......
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作者:
逸森
時間:
07-7-19 10:55
標題:
有關必要、充分條件的題目怎麼算......
1.
(不知式子間充分、必要條件的關係要怎麼看)
如果題目列出兩式子，要我們比較誰是誰的必要、充分、或必要條件，
那些式子包含的條件要怎麼看？是要用未知數的數對，還是列出那個式子所包含的所有式子
來判斷
？@@
我舉三個題目：
1. A.B屬於R(有理數
)
，|AB|小於等於1
是
|A||B|小於等於1
的___條件，可以列出怎麼看嗎？
2. X.Y為正數，則
X>1
或
Y>1
是
XY>1
的___條件，可以列出怎麼看嗎？
[
本文最後由 逸森 於 07-7-19 07:20 AM 編輯
]
作者:
傲月光希
時間:
07-7-19 17:59
1.假設P=>Q，若P為真的情形下可以推導到Q的話，則P就是充分，Q就是必要，反之亦然
若兩邊都可以互推的話，則就互為充要條件
就像是若今天有個命題為P<=>Q，要去證明互為充要的話，通常都是拆成"P=>Q"跟"Q=>P"然後在一個個證明
通常要證推不過去的話都是用舉反例，因為所要討論的是存在性的問題，很多結論都是對所有的情況下
除非所要推導的結論是存在的問題，那就必須證明對所有的情況都要反駁那個結論
2.由於|AB|≦1跟|A||B|≦1是等價的，因此互為充要條件(|AB|=|A||B|)
另外，R是實數系，Q才是有理數系
3.今天把題目改成"X.Y為正數，則 X>1 或 Y>1 <=> XY>1"，然後去證明
"=>"很明顯的，這結論必定不對。考慮X=2>1跟Y=(1/2)<1，則XY=1不大於1
這樣舉反例的證法是因為原題目是說對「所有的」X跟Y是正數，X>1或Y>1，則都會滿足XY>1
所以我只要考慮存在性，也就是找出一組反例來反駁就好了，(X，Y)=(2，1/2)的確滿足原先的條件但是結論不成立
"<="這邊我們用反證法。什麼是反證法?也就是假設結論不成立，則會導致矛盾，所以結論必然成立
這邊結論是"對所有"，因此必須要用"存在"，"對所有"跟"存在"是對立
假設對存在一組ab>1滿足a≦1且b≦1('X>1或Y>1"的對立假設就是"X≦1且Y≦1"，用集合論觀點說，就是兩者為互斥事件)
則a*b≦1*1=1 →←(矛盾符號)，因此結論為真
由上述證明，我們得到"若XY>1，則X>1或Y>1"，也就是X>1 或 Y>1 是 XY>1 的 必要 條件
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