鐵之狂傲

標題: 高中挑戰題１ [列印本頁]

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作者: ~冠~    時間: 07-8-3 10:00
標題: 高中挑戰題１
既然大家都再出挑戰題,我怎能缺席咧XDD~

1.在三角形ABC中,角B=90度.且BC=a, CA=b, AB=c. 若不論x為何實數,皆能使ax^2+bx+c>=0成立,
求角A的最大可能角度值?

2.x+y+z=1, 且x,y,z均屬於R+, 證明:x^2y + y^2z + z^2x ≤ 4/27. (並找出等號成立的充要條件)

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-8-6 11:20 AM 編輯 ]

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作者: sam21331    時間: 07-8-6 15:37
在下來試試看第一題...
1.使ax^2+bx+c>=0恆成立    則b^2-4ac<=0  ac>=b^2/4-------(1)

2.sinA=A/B=b/a

3.A=(bc/a)^0.5    B=(ac/b)^0.5    C=(ab/c)^0.5
  
   又A^2+C^2=B^2

   代入通分得(ab)^2+(bc)^2=(ac)^2    將(1)代入此式

    得4(1+c^2/a^2)^0.5>=b/a

   在2.中,sinA=b/a  且角A<90度

    所以角A最大值為sin的一反函數  函數值為4(1+c^2/a^2)^0.5

   不知這樣對不對><?

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作者: ~冠~    時間: 07-8-6 19:21
恩...沒這麼麻煩....試試看tan. 答案是一個很漂亮的範圍.

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作者: skywalkerJ.L.    時間: 07-8-6 23:32
1.

因為ax^2+bx+c≧0

所以b^2-4ac≦0

=>a^2+c^2-4ac≦0(畢式定理)

=>(a/c)^2-4(a/c)+1≦0

=>tanA^2-4tanA+1≦0

=>2-√3≦tanA≦2+√3

所以15度≦A≦75度

(寫的有點簡略...)

[ 本文最後由 skywalkerJ.L. 於 07-8-7 09:33 AM 編輯 ]

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