鐵之狂傲

標題: 不等式挑戰題(1) [列印本頁]

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作者: turnX    時間: 07-8-3 15:56
標題: 不等式挑戰題(1)
1.若a，b，c為任意三角形的三邊長，
試證：
        a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2

2.實數a,b,c,d滿足2a^2+b^2+24c^2+3d^2=18/5
試求 max{ a+3b-2c+d } 和 min{ a+3b-2c+d }


3.設a,b,c為正實數,且滿足abc=1
試證：
        a^(-3)*(b+c)^(-1)+b^(-3)*(a+c)^(-1)+c^(-3)*(a+b)^(-1) >= 3/2

[ 本文最後由 turnX 於 07-8-3 04:04 PM 編輯 ]

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作者: ~冠~    時間: 07-8-3 17:33
1.a<b+c, b<a+c c<a+b
so that, a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2a/(a+b+c)+2b/(a+c+b)+2c/(a+b+c)=2

第三題囧....怎麼又是IＭＯ的題目XD,既然已經寫過就留給別人嘗試看看囉^^

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-8-3 02:42 PM 編輯 ]

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作者: turnX    時間: 07-8-3 17:41
2a/(a+b+c)+2b/(a+c+b)+2c/(a+b+c)=2
上面應該有點算太快

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作者: ~冠~    時間: 07-8-5 16:07
怎麼還是沒人解阿XD
2.Cauchy-Schwarz
(2a^2+b^2+24c^2+3d^2)(1/2+9+1/6+1/3)>=( a+3b-2c+d)^2
so that (a+3b-2c+d)^2<=36
=> -6<=a+3b-2c+d<=6
MAX=6 MIN=-6

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作者: 流浪的狂戰士-森    時間: 07-8-5 21:34
3.設a,b,c為正實數,且滿足abc=1
試證：
        a^(-3)*(b+c)^(-1)+b^(-3)*(a+c)^(-1)+c^(-3)*(a+b)^(-1) >= 3/2

a.b.c為正實數

且滿足abc=1

SO~a=b=c=1

但是帶進去感覺怪怪的

好像做錯了什麼...

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作者: turnX    時間: 07-8-5 21:57

原文由流浪的狂戰士-森 於 07-8-5 09:34 PM 發表
3.設a,b,c為正實數,且滿足abc=1
試證：
        a^(-3)*(b+c)^(-1)+b^(-3)*(a+c)^(-1)+c^(-3)*(a+b)^(-1) >= 3/2

a.b.c為正實數

且滿足abc=1

SO~a=b=c=1

但是帶進去感覺怪怪的

好像做錯了什麼... ...

當a=b=c=1時
並沒有任何錯誤
1/2+1/2+1/2>=3/2
請多想想吧!

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作者: ~冠~    時間: 07-8-10 22:55
我看我還是回掉好了...XD

因為abc=1, 所以1/a^3(b+c)=a^2b^2c^2/a^3(b+c)=b^2c^2/(ca+ab)
設b^2c^2/(ca+ab)+c^2a^2/(cb+ab)+a^2b^2/(ca+cb)=M
[(ab+ac)+(bc+ba)+(ca+cb)]*M
>=[sqrt(ab+ac)*bc/sqrt(ab+ac)+sqrt(bc+ab)*ca/sqrt(ab+ab)+sqrt(ca+cb)*ab/sqrt(cb+ac)]^2=(bc+ca+ab)^2>=3*(bc*ca*ab)^(1/3)*(bc+ca+ab)
=bc+ca+ab.
因此得出M>=3/2
原不等式等價於M,所以證畢.

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