鐵之狂傲

標題: 挑戰105 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 07-8-8 15:18
標題: 挑戰105
普通
1.討論(a-1)(a+4)x=a+2(3x-1)之解

2.設a、b為(x^2)-3x+5=0之二根，求以b/(a^2)、a/(b^2)為二根之方程式

難度
1.若方程(x^3)-6(x^2)+(m-7)x+2m-10=0的三根成等差數列，求m值為何

2.若(x^2)+x+1=0之兩根為a、b，求[(1+a^2009)/(1+b^2009)]+[(1+b^2009)/(1+a^2009)]=?

資優
1.已知一元二次方程式(x^2)+(m-17)x+m-2=0的兩根都是正整數，求整數m的值

2.已知:a，b是關於x的方程4(x^2)-(3m-5)x-6(m^2)的兩個實根，且│a/b│=3/2，求m的值

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-8-9 12:17 AM 編輯 ]

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作者: ~冠~    時間: 07-8-8 17:24
x^2+(m-17)x+(m+2)的兩根為正整數.
則表示m+2>0, m-17<0
-2<m<17.
且m又是正整數.
若m>10, 則b^2-4ac<0
所以m<10.
由遞降法可以輕易推知m=7

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-8-8 09:34 AM 編輯 ]

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作者: turnX    時間: 07-8-8 22:37

原文由M.N.M. 於 07-8-8 03:18 PM 發表
普通
1.討論(a-1)(a+4)x=a+2(3x-1)之解

展開 左右項得
x(a^2+3a-4)=a+6x-2
令a^2+3a-4=6 得a=-5 or 2

當a=2時方程呈恆等式  x有無限多解
當a=-5時方程呈現矛盾 x為無解
當a!=2 和 a!=-5時 x為單一解

難度
1.若方程(x^3)-6(x^2)+(m-7)x+2m-10=0的三根成等差數列，求m值為何

根據 根與係數 之 關係
同時設立三根為 r-d , r , r+d
3r=6 r=2
三根為 2-d,2,2+d

(2-d)*2*(2+d)=10-2m => d^2=m-1 ----(1)
2*(2-d)+2*(2+d)+(2-d)*(2+d)=m-7 =>d^2=19-m ---(2)
(1)=(2)得 m=10 , d=3 or -3
三根為 -1,2,5

Ans:m=10

資優
1.已知一元二次方程式(x^2)+(m-17)x+m-2=0的兩根都是正整數，求整數m的值

條件一:(有實數解)
(m-17)^2-4*(m-2)>=0    m>=27 or m<=11

條件二:(根與係數的關係)
兩根都是正整數   m-2>0 => m>2   17-m>0 => 17>m

由條件一,二之範圍知     2<m<=11
由於m為整數,用笨方法帶入原方程試推m
得m=9時,有兩根1,7

Ans:m=9

[ 本文最後由 turnX 於 07-8-8 10:58 PM 編輯 ]

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作者: aeoexe    時間: 07-8-8 22:44
2.設a、b為(x^2)-3x+5=0之二根，求以b/(a^2)、a/(b^2)為二根之方程式
From a,b are the roots of  x^2-3x+5=0
a+b=3 ab=5
Let some quadratic Equations x^2+mx+n=0 have the roots of b/(a^2) and a/(b^2)
-m=b/a^2+a/b^2=>
-m=(a^3+b^3)/a^2*b^2=>
-m=(a+b)(a^2-ab+b^2)/(a^2*b^2)=>
-m=3(3^2-3*5)/5^2=>
-m=-18/25=>m=18/25

n=(b/a^2)*(a/b^2)=>n=1/ab=>n=1/5
Therefore,the quadratic equation have the roots of (a/b^2)and (b/a^2)
is x^2+18/25x+1/5=0 =25x^2+18x+5=0

2.已知:a，b是關於x的方程4(x^2)-(3m-5)x-6(m^2)的兩個實根，且│a/b│=3/2，求m的值
由於│a/b│=3/2,所以a/b=+or-3/2,
因為a，b是關於x的方程4(x^2)-(3m-5)x-6(m^2)的兩個實根,所以
a+b=(3m-5)/4,ab=-6m^2/4
因為ab=-6m^2/4及a/b=+or-3/2,可得+or-3b^2/2=-3m^2/2,
因為a,b同為實根,所以b=+or-m
將a/b=+or-3/2及b=+or-m代入a+b=(3m-5)/4
可得m=-5/7,5/13,5,1
因為m=-5/7及5/13時,│a/b│不等於3/2,
所以m=5or1

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-8-9 12:02 AM 編輯 ]

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作者: turnX    時間: 07-8-9 01:38

原文由M.N.M. 於 07-8-8 03:18 PM 發表
難度
2.若(x^2)+x+1=0之兩根為a、b，求[(1+a^2009)/(1+b^2009)]+[(1+b^2009)/(1+a^2009)]=?

可知兩根為虛根  先令
a=-1/2-根號(3)i/2
b=-1/2+根號(3)i/2

由隸美弗....
a^n= cos( (4nPI)/3 )+isin( (4nPI)/3 )
b^n= cos( (2nPI)/3 )+isin( (2nPI)/3 )

並發現
a^2009=cos( (2PI)/3 )+isin( (2PI)/3 )=b
b^2009=cos( (4PI)/3 )+isin( (4PI)/3 )=a

所以
[(1+a^2009)/(1+b^2009)]+[(1+b^2009)/(1+a^2009)]=[(1+b)/(1+a)]+[(1+a)/(1+b)]
=(1+2b+b^2+1+2a+a^2)/(1+a+b+ab)=-1

因為
ab=1
a+b=-1
a^2+b^2=-1

Ans:-1

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作者: M.N.M.    時間: 07-8-27 23:01
難度1另解
1.若方程(x^3)-6(x^2)+(m-7)x+2m-10=0的三根成等差數列，求m值為何[/quote]

設三根為 r-d , r , r+d

(r-d)+r+(r+d)=6

r=2代入原方程

=>8-6*4+(m-7)*2+2m-10=0

=>m=10


難度2另解
ab=1
a+b=-1
a^2+b^2=-1
a^2+a+1=0
b^2+b+1=0

x^2+x+1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
x^3=1

a^3=1
b^3=1


[(1+a^2009)/(1+b^2009)]+[(1+b^2009)/(1+a^2009)]

=[(1+a^2)/(1+b^2)]+[(1+b^2)/(1+a^2)]

=(a/b)+(b/a)

=(a^2+b^2)/ab

=-1

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作者: hayden2111    時間: 07-8-29 09:11

原文由M.N.M. 於 07-8-8 03:18 PM 發表
資優
2.已知:a，b是關於x的方程4(x^2)-(3m-5)x-6(m^2)的兩個實根，且│a/b│=3/2，求m的值

利用根與係數
1. a*b=-(3/2)(m^2)
2. 故a b不同號'  a/b=-3/2
     a=-(3*b)/2
3. a+b=(3*m-5)/4

2代入1
(-3/2)(b^2)=-(3/2)(m^2)
得到m=|b|  和2代入3

(-3/2)b+b=(3*|b|-5)/4
-6*b+4*b=3*|b|-5  開平方
(-2*b)^2=(3*|b|-5)^2
4*b^2=9*b^2-30*b+25
5*b^2-30*b+25=0
b=1,5
所以m=1,5
第一次發...不知道有沒有算錯
排的有點亂請見諒

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