鐵之狂傲

標題: 有沒有好解法啊:) [列印本頁]

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作者: cfc21    時間: 07-12-6 01:59
標題: 有沒有好解法啊:)
曾是建中考題，如圖:)


不知有沒有解法？

去掉「較好」字眼，因為好不好是見人見智吧:)

[ 本文最後由 cfc21 於 07-12-7 12:57 PM 編輯 ]

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作者: M.N.M.    時間: 07-12-9 23:12
Δ=(c-b)(c-a)(b-a)

由三根關係可設(x^3)-3x+1=0(其中a，b，c為其方程式之三根)

(a^3)-3a+1=0......(1)
(b^3)-3b+1=0......(2)

(1)-(2)=>(a-b)(a^2 +ab+b^2)-3(a+b)=0

=>(a^2)+ab+b^2=3

=>(a-b)^2=3(1-ab)=(b-a)^2

同理(c-a)^2=3(1-ac)，(c-b)^2=3(1-3bc)

Δ^2=[(c-b)(c-a)(b-a)]^2

=27(1-ab)(1-bc)(1-ca)

=27[1-(ab+bc+ca)+abc(a+b+c-abc)]

=27[1+3+(-1)]=81

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作者: cfc21    時間: 07-12-9 23:40
標題: 感謝回覆
感謝回覆:微笑

我是利用a+b=-c以及ab=-3-(bc+ca)=-3-(a+b)c=-3+c^2，得
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=c^2-4(-3+c^2)=12-3c^2=-3(c^2-4)

所求=-27(c^2-4)(a^2-4)(b^2-4)

建立方程x^3-3x+1=0 → (x^3-3x)^2=(-1)^2 → x^6-6x^4+9x^2-1=0
→ y^3-6y^2+9y-1=0 → 用綜合除法得 (y-4)^3+p(y-4)^2+q(y-4)+3=0
→ 三根積(a^2-4)(b^2-4)(c^2-4)=-3

故所求=-27*(-3)=81

再次感謝您的回應:微笑

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