鐵之狂傲

標題: 挑戰125 [列印本頁]

作者: M.N.M. 時間: 08-7-15 13:30
標題: 挑戰125
國、高中
1.

2.
已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)對一切實數x、y都成立，且f(0)≠0，證:f(x)是偶函數

3.
在一個邊長均為1的正三稜錐內有13個點，其中任三點不共線，任四點不共面。試證:在以這些點為頂點的三稜錐中，至少有一個體積V<

大學

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-7-15 19:45 編輯 ]

作者: aeoexe 時間: 08-7-16 17:30
2.已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)對一切實數x、y都成立，且f(0)≠0，證:f(x)是偶函數
代入y=0,
f(x+0)+f(x-0)=2f(x)*f(0)
2f(x)=2f(x)*f(0)
f(x)=0(rejected) or f(0)=1
代入x=0, y=x
f(x)+f(-x)=2f(0)*f(x)
f(x)+f(-x)=2f(x)
f(-x)=f(x)
所以f(x)是偶函數

rejected 的原因:
因為f(x)=0,
就代表了我代甚麼東西進x都是0,
但是f(0)又不等於0
所以f(x)不可能等於0..

[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-7-25 18:42 編輯 ]

作者: skywalkerJ.L. 時間: 08-7-19 08:14
3.
正三稜錐體積√2/12
由各頂點連線至正三稜椎中心可得四塊體積為√2/48之三稜椎
由鴿籠原理知，至少會有4個點在同一三稜椎中
故V<√2/48

作者: tzhau 時間: 08-7-20 00:53

[ 本文章最後由 tzhau 於 08-7-20 01:24 編輯 ]

作者: turnX 時間: 08-7-25 09:39
不知道對不對

作者: turnX 時間: 08-7-25 12:58
來碰碰運氣,其實也不知道這方式可不可行

已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)對一切實數x、y都成立，且f(0)≠0，證:f(x)

是偶函數

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)
f(x-(-y))+f(x+(-y))=2f(x)*f(-y)=2f(x)*f(y)
消去2f(x)
f(-y)=f(y)
因為對一切實數x、y都成立
f(-x)=f(x)
所以f(x)是偶函數

作者: albert1liu1 時間: 10-10-31 22:11
∵lim    1/x=-∞
  x→0-
  lim    1/x=∞
  x→0+

  左極限≠右極限
∴極限值不存在

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