鐵之狂傲
標題:
一個小問題...
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作者:
ss931423
時間:
09-4-26 01:02
標題:
一個小問題...
我做題目時做到一題是問:
方程式 x^3 - x + 1 = 0 有無"有理根"
解答是說:
設f(x) = x^3 - x + 1, 若f(x) = 0 有有理根
則必為x = +1 v -1 (牛頓一次因式檢驗法)
但f(1)和f(-1)皆不等於0
故此方程式無有理根
但是我用"無理根定理"和"虛根定理"來判斷的話
因為此方程式之各項係數皆屬於"Q"屬於"R"
依虛根定理判斷:因虛根必成對出現,此方程式有一實根v三根皆為實根
依無理根定理判斷:因無理根必成對出現,此方程式有一有理根v三根皆為有理根
由於無理數與有理數皆為實數,所以當:(1)此方程式有一實根及兩個虛根,則此一實根必為有理根(因為無理根必成對出現)
(2)此方程式有三實根,則此三實根必為兩個無理根與一個有理根
所以由此推論出"此方程式必有有理根"
但後來我用三次方程式公式解求出此方程式的三個根,此方程式之三解皆非有理數
難道是因為無理根定理並不正確嗎?
不然是為什麼?= =
請各位高手幫忙解答><
[
本文章最後由 ss931423 於 09-4-26 10:11 編輯
]
作者:
M.N.M.
時間:
09-4-26 12:53
虛根成雙定理是若f(x)=0有一根為a+bi，則有另一根a-bi(其中a、b為實數)
無理根成雙定理是若f(x)=0有一根a+sqrt(b)，則有另一根a-sqrt(b) (其中a、b為有理數)
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