鐵之狂傲

標題: 挑戰140 [列印本頁]

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作者: M.N.M.    時間: 11-1-29 16:04
標題: 挑戰140


1.
設f(x)=ax+b，其中a、b為實數
1≤f(1)≤3
2≤f(2)≤6
求f(4)的最大值與最小值

2.
x與y為相異整數，(1/x)+(1/y)=1/5，求x-y=?

3.
k，m為正整數，若31*k=m，當m的各位數字只有0和1所組成時的最小正整數，求k=?

4.
△ABC中，∠B為直角，D為BC邊上一點，使∠BAD＝2∠
CAD，且AD：AB＝3：2，求DC：DB＝?

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作者: aeoexe    時間: 11-3-16 13:29


1.
設f(x)=ax+b，其中a、b為實數
1≤f(1)≤3
2≤f(2)≤6
求f(4)的最大值與最小值

1≤a+b≤3
2≤2a+b≤6
=>1≤a≤3
Sub1≤a≤3 into1≤a+b≤3,
-2≤b≤2,
Sub1≤a≤3 into2≤2a+b≤6,
-4≤b≤4.
hence -2≤b≤2
thus, 4*1-2≤4a+b≤3*4+2
2≤4a+b≤14

4.
△ABC中，∠B為直角，D為BC邊上一點，使∠BAD＝2∠
CAD，且AD：AB＝3：2，求DC：DB＝?
Let ∠CAD=x,then ∠BAD=2x,and hence ∠CAB=3x

since 0<3x<pi/2,cosx,cos2x,cos3x,tan3x>0
cos2x=2/3
thus cosx=[sqr(30)]/6(By cos2x=2(cosx)^2-1
cos3x=[sqr(30)]/18 (By cos3x=4(cosx)^3-3cosx
tan3x=7/5sqr(5)

Thus,CB:AB=7/5sqr(5):1 -(x)

if AD=3k, AB=2k
By Pyth Thm,
BD=k*sqr(5)
By (x), CB=[14k/5]*sqr(5)
thus, CD=[(14/5)-1]k*sqr(5)=(9k/5)*sqr(5)
CD:BD=9:5


(1/x)+(1/y)=1/5
(1/7.5)+(1/15)=1/5,
x-y=7.5 or -7.5
(1/-1.25)+(1/1)=1/5
x-y=-2.25 or 2.25
好像是無限解,
(真是實數?)

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作者: M.N.M.    時間: 11-3-17 17:55

1.
設f(x)=ax+b，其中a、b為實數
1≤f(1)≤3
2≤f(2)≤6
求f(4)的最大值與最小值

1≤a+b≤3
2≤2a+b≤6
=> ...
aeoexe 發表於 11-3-16 13:29

第一題的從a範圍就有誤
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真抱歉，那題修正好了，是問整數

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作者: aeoexe    時間: 11-3-17 18:27


2.(1/x)+(1/y)=1/5
(x+y)/xy=1/5
xy=5(x+y)
xy-5x-5y=0
(x-5)(y-5)=25
Since x,y are non-zero integers.
Thus, x-5=y-5=5 or x-5=y-5=-5 (both rejected,x,y are distinct and non-zero)
or x-5=25 and y-5=1 or x-5=1 and y-5=25
or x-5=-25 and y-5=-1 or x-5=-1 and y-5=-25
x=30 and y=6 or x=6 and y=30 or
x=-20 and y=4 or x=4 and y=-20

hence,x-y=24 or x-y=-24

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作者: aeoexe    時間: 11-3-19 14:36
再嘗試
1.
設f(x)=ax+b，其中a、b為實數
1≤f(1)≤3
2≤f(2)≤6
求f(4)的最大值與最小值

Sub x=1,
1≤a+b≤3
Sub x=2,
2≤2a+b≤6
Thus, 2-3≤a≤6-1
-1≤a≤5
Since, 1-a≤b≤3-a
1-a(max)≤b≤3-a(min)
-4≤b≤4
Since, f(4)=4a+b
thus 4a(min)+b(min)≤f(4)≤4a(max)+b(max)
-8≤f(4)≤24

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