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關於Cayley-Hamilton定理

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天下聖凱

名望的鄉紳

電梯直達

1^#

發表於 06-7-17 11:33:15 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

最近學矩陣碰到了這個定理

A為二階方陣
[a  b]
[c  d]  (小弟不會表示OTL)
則A^2-(a+d)A+(ad-bc)I2=0

關於這個定理的証明
老師也只是把一項項算出來加減結果正好等於0方陣得証
有沒有不是這種方法而能證明的??

[ 本文最後由天下聖凱於 06-7-17 11:40 AM 編輯 ]

覺得困難的，是人的心。

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M.N.M.

名望的英雄

2^#

發表於 06-7-17 12:38:11 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

忘了提到I為
[1 0]
[0 1]
A^2-(a+d)A+(ad-bc)I
=
[a^2+bc ab+bd] [a(a+d) b(a+d)] [ad-bc 0]
[ac+cd bc+d^2]-[c(a+d) d(a+d)] +[ 0 ad-bc]
=
[0 0]
[0 0]

搞不好是一樣的做法(毆飛

遊戲直播

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天下聖凱這是一樣的OTL 發表於 06-7-17 14:43 聲望 + 1 枚 回覆一般留言

hope10378

一般的居民

3^#

發表於 06-7-17 18:13:01 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

A= [a b] ,  I=[1 0]
   [c d]       [0 1]

la-x bl=0
lc d-xl
上面是行列式
=>(x-d)(x-a)-bc=0
=>x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0
然後把X換成A就可以了

好像有點......

[ 本文最後由 hope10378 於 06-7-17 06:22 PM 編輯 ]

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天下聖凱這是特徵方程的結果老師有發表於 06-7-18 00:42 聲望 + 1 枚 回覆一般留言

青雲

無名的鄉紳

4^#

發表於 06-7-17 21:01:52 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

這項定理的證明...
這個勒...
據我所知...
還是等到大學在知道唄...
高中生大都直接用它的結果...
(可見應該也是很煩人的那種吧...)

結論...
我也不知道...

問你何時曾看見這世界為了人們改變
有了夢寐以求的容顏是否就算是擁有春天

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天下聖凱

名望的鄉紳

5^#

發表於 06-7-18 00:44:27 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由青雲於 06-7-17 09:01 PM 發表
這項定理的證明...
這個勒...
據我所知...
還是等到大學在知道唄...
高中生大都直接用它的結果...
(可見應該也是很煩人的那種吧...)

結論...
我也 ...

有想要去借老姊的線代的書來看OTL

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傲月光希

名望的騎士

6^#

發表於 06-7-27 19:53:48 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

這是我的做法：(注：A^(-1)=A的反函數 ,adjA=adjoint of A)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [d -b]
I2=A*A^(-1)=A*(1/detA)(adjA)=A*(1/detA)[-c a]

               [d -b]
(detA)I2=A*[-c a]

  [d -b]
-[-c a]*A+(detA)I2=0

[-d b]
[c -a]*A+(detA)I2=0

  [a b]  [-a-d 0]
([c d]+[0 -a-d])*A+(detA)I2=0

(A-(a+d)I2)*A+(detA)I2=0

A^2-(a+d)A+(ad-bc)I2=0...得証

我的想法，如果錯了就算了（…(¯ε￣( ○─(ˋ□ˊ)┐毆打）