挑戰41

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傲月光希

名望的騎士

11^#

發表於 06-7-24 13:20:50 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由 M.N.M. 於 06-7-24 01:16 PM 發表

解對了

但是沒證明為什麼"三角形APB跟三角形BPC為相似三角形"(= =a

我補圖囉，用圖證明
看不懂我可以修改的更明白

[ 本文最後由傲月光希於 06-7-24 01:27 PM 編輯 ]

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回覆使用道具檢舉

M.N.M.

名望的英雄

12^#

發表於 06-7-24 17:36:00 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

[解答]
1.

原文由 傲月光希 於 06-7-24 01:09 PM 發表

如右圖
知道三角形APB跟三角形BPC為相似三角形，所以
ＰＣ　　　ＢＣ　　　ＰＢ　　１　
－－　＝　－－　＝　 ...

後半用餘弦定理比較快
設CP=t，BP=2t
1^2=(x^2)+(2x)^2-2*x*2x*cos120°
=>x=(√7)/7

2.
(解法1)

(x+y+z)^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
=>xy+yz+zx=3

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=>xyz=1

由以上條件利用根與係數關係可做方程式
t^3-3(t^2)+3t-1=0
=>(t-1)^3=0
=>t=1，1，1

所以(x，y，z)=(1，1，1)

(解法2)
令x=1+a，y=1+b，z=1+c(其中a，b，c為實數

x+y+z=3
=>a+b+c=0

x^2+y^2+z^2=3
=>(1+a)^2+(1+b)^2+(1+c)^2=3
=>3+2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2=3
=>a^2+b^2+c^2=0
=>(a，b，c)=(0，0，0)
=>(x，y，z)=(1，1，1)

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