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樓主: M.N.M.

挑戰50

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xvmon123

名望的居民

11^#

發表於 06-8-20 18:05:20 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab
又ab=(a，b)[a，b]
設a=dh
b=dk帶入
所以(a，b)=d
[a，b]=dhk
d+9dhk+9(dh+dk)=7ddhk
=>1+9hk+9h+9k=7dhk
整理得1=7dhk-9hk-9h-9k
接下來要配對吧.......算到這裡又死了(默

[img]http://tinypic.com/a48n14.jpg[/img] 夏天到了...大家一起糟糕吧[color=black][color=white]!![/color](我的簽名檔會不會太激啊??)[/color]

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傲月光希

名望的騎士

12^#

發表於 06-8-25 23:45:04 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

第2題到現在還沒有解出來耶，M大是否要給個過程跟答案了= =?

進入數學版滿月祭III相簿1 2

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迷糊小書僮

無名的勇者

そばにいるね

13^#

發表於 06-8-26 14:00:12 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

在等一下下吧
我要再試試看

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M.N.M.

名望的英雄

14^#

發表於 06-8-26 14:11:02 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由 xvmon123 於 06-8-20 06:05 PM 發表
求所有正整數a，b使得(a，b)+9+9(a+b)=7ab
又ab=(a，b)
設a=dh
b=dk帶入
所以(a，b)=d
=dhk
d+9dhk+9(dh+dk)=7ddhk
=>1+9hk+9h+9k=7dhk
整理得1=7dhk-9hk-9h ...

算式中別望了(h，k)=1
算到1+9hk+9h+9k=7dhk跟在下一樣呢

接下提示一件事好了，這題有最大值和最小值存在

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-26 02:13 PM 編輯 ]

遊戲直播

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M.N.M.

名望的英雄

15^#

發表於 06-8-27 16:55:21 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

[解答]
1.神光已解出

在下的
由於4數都是質數，而且1749是奇數，所以必有一數是偶數，d為最小，所以d=2

6c>24
=>c≧5

a>3b
=>a≧3b+1

3b>6c
=>b≧2c+1

a^2-b^2+c^2
≧(3b+1)^2-b^2+c^2
=8b^2+6b+1-c^2
≧8(2c+1)^2+6(2c+1)+1+c^2
=33c^2+44c+15≦1753
=>5≦c<7
=>c=5

a^2-b^2=1728=(2^6)*(3^3)

b≧2c+1=11，a≧3b+1≧34
=>a+b≧45，a-b≧23

因為a、b皆奇數，所以a+b，a-b同為偶數

(a+b)(a-b)=(2^6)*(3^3)
=>a+b=54，a-b=32
=>a=43，b=11

a^2+b^2+c^2+d^2=1999

2.
設(a，b)=d，a=dh，b=dk，(h，k)=1，[a，b]=dhk
(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab
=>d+9dhk+9dh+9dk=7(d^2)hk
=>9+9[(1/h)+(1/k)]+(1/hk)=7d

9<7d≦9+9[(1/1)+(1/1)]+(1/1*1)=28
=>2≦d≦4

當d=2時
5hk-9(h+k)=1
=>25hk-45h-45k=5
=>(5h-9)(5k-9)=86=1*86=2*43
=>(h，k)=(2，19) or (19，2)(∵h、k為整數)
=>(a，b)=(4，38)，(38，4).......(1)

當d=3時
12hk-9(h+k)=1
=>36hk-27h-27k=3
=>[6h-(9/2)][6k-(9/2)]=3+(81/4)
=>(12h-9)(12k-9)=93=1*93=3*31
無整數解......(2)

當d=4時
19hk-9(h+k)=1
=>361hk-171h-171k=19
=>(19h-9)(19k-9)=100
∵h or k大於1時，左式>100
∴(h，k)=(1，1)
=>(a，b)=(4，4)......(3)

由(1)(2)(3)=>(a，b)=(4，38)，(38，4)，(4，4)