數學邏輯問題(已解決)

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傲月光希

名望的騎士

電梯直達

1^#

發表於 07-11-1 16:29:13 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

請詳答下列問題
1.寫出命題"如果一條直線和一個平面內任何一條直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直"的逆命題、否命題、逆否命題。
2.命題"到三角型三頂點距離都相等的點一定是三角形的外心"是否正確?如果正確，請出證明，否則舉出反例。
3.指出下面論證中的錯誤並給出正確證明：
　證明：對角線相等的平行六面體是長方體。
　錯證：(1)長方體的對角線相等，它們都等於三度的平方和
　　　　(2)所以不是長方體的平行六面體的對角線不相等
　　　　(3)因此對角線相等的平行六面體是長方體

[ 本文最後由傲月光希於 07-11-24 11:13 AM 編輯 ]

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‧幻星〞

一般的鄉紳

2^#

發表於 07-11-11 19:01:14 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

邏輯不太熟XD

1.
逆命題：如果有一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面內任何一條直線都垂直
否命題：如果一條直線和一個平面內某些條直線不垂直，則這條直線和這個平面不垂直
逆否命題：如果有一條直線和一個平面不垂直，則在這個平面內存在一條直線和原本的直線不垂直

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傲月光希正解發表於 07-11-11 19:51 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

＊軍曹＊不錯發表於 07-11-11 19:14 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

傲月光希

名望的騎士

3^#

發表於 07-11-24 11:10:54 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

剩下兩題都沒人解，直接說解答好了(泣

2.錯。反例為考慮一三角形的外心位置，作一直線與此三角形所在平面垂直且交於外心，則這條線上的任一點皆滿足條件但不是外心(這條我承認有點難想，因為要想到三度空間)

3.(1)推不到(2)。(2)->(3)是錯的，因為這兩條互為原命題與逆否命題，所以是等價的，但(3)是我們必須要證明的。如果(3)錯，(2)也不會對。

證明：考慮一平行六面體ABCD-A'B'C'D'滿足條件(如圖)。先證除了ABCD跟A'B'C'D'可能是平行四邊形外，其他面皆為矩形。------(*)

考慮四邊形AA'C'C，將此四邊形的對角形連線可得四個三角形AA'E、ACE、CC'E跟A'C'E。由於AA"C'C也是平行四邊形，所以A'C跟AC'會互相平分。加上A'C=AC'，這四個小三角形都是等腰且腰都等長。由互補的概念知道∠EAC+∠ECA=∠AEA'、∠EAA'+∠EA'A=∠AEC，又∠AEA'+∠AEC=180度，所以∠A'AC=90度。同理可得四邊形ACC'A'其餘四邊也是90度，因此此四邊形為矩形。同理也可得四邊形BB'D'D是矩形。因此得證(*)。

接下來證ABCD跟A'B'C'D'皆為矩形------(**)

由於這兩個四邊形是全等，我們只要證ACBD就好。

由前面證明可知道ABCD的對角線必相等且平分，也就是AC=BD，我們可以很容易地知道△ABC跟△ACD全等，△ABD跟△BCD全等，所以△ACD跟△BCD全等(皆用SAS全等性質)。因為∠ADC跟∠BCD互補且相等，所以∠ADC=∠BCD=90度，因此△ACD跟△BCD是直角三角形，又由於全等，△ABC跟△ABD是直角三角形，所以四邊形ABCD四角皆為90度，為矩形。所以可知四邊形A'B'C'D'也是矩形，因此得證(**)。

由(*)跟(**)知道，此平行六面體為長方體。

[ 本文最後由傲月光希於 07-11-24 11:12 AM 編輯 ]

長方體.PNG

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ericchan1219 發表於 07-12-2 21:58 聲望 + 3 枚 回覆一般留言

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