挑戰126

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 08-7-17 12:54:51 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

國、高中
1.設f(x)=(x^2)+ax+b，求證:│f(1)│、│f(2)│、│f(3)│之中至少有一個不小於1/2

2.證明:不存在這樣三位數abc，使abc+bca+cab成為完全平方數

3.

(被蓋住的部份是"另兩個等於1")
大學
1.

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-7-17 12:56 編輯 ]

遊戲直播

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aeoexe

名望的鄉紳

2^#

發表於 08-7-17 12:59:42 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

2.證明:不存在這樣三位數abc，使abc+bca+cab成為完全平方數
abc+bca+cab=100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)=111(a+b+c)=37*3*(a+b+c)
如果要令abc+bca+cab成為完全平方數,a+b+c必須是111的倍數..
但是a+b+c最大只有27(999),所以不存在三位數,abc使abc+bca+cab成為完全平方數

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aeoexe

名望的鄉紳

3^#

發表於 08-7-18 10:17:34 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

國中,高中3.
將等式兩邊乘上2abc,
得:a(b^2+c^2-a^2)+c(a^2+b^2-c^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2abc
再移項加因式分解,可以得出(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=0
即a+b-c=0 或 b+c-a=0 或 a+c-b=0
如果a+b-c=0
a+b=c => (a+b)^2=c^2 => a^2+b^2=c^2-2ab => (a^2+b^2-c^2)/2ab=-1
=> b=c-a => b^2=c^2+a^2-2ac => a^2+c^2-b^2=2ac => (a^2+c^2-b^2)/2ac=1
=> a=c-b => a^2=c^2+b^2-2bc => b^2+c^2-a^2=2bc =>(b^2+c^2-a^2)/2bc=1
同理,可得三種情況下,(a^2+b^2-c^2)/2ab,(a^2+c^2-b^2)/2ac,(b^2+c^2-a^2)/2bc,其中一個必等於-1,另外兩個必等於1,故得証

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skywalkerJ.L.

一般的居民

4^#

發表於 08-7-19 17:34:28 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.設f(x)=(x^2)+ax+b，求證:│f(1)│、│f(2)│、│f(3)│之中至少有一個不小於1/2

令:│f(1)│、│f(2)│、│f(3)│皆大於1/2
則2>│f(1)│+2│f(2)│+│f(3)│
又由三角不等式│f(1)│+2│f(2)│+│f(3)│≥│f(1)-2f(2)+f(3)│=│1+a+b-2*(4+2a+b)+9+3a+b│=2
由於上兩式相互矛盾
故│f(1)│、│f(2)│、│f(3)│之中至少有一個不小於1/2

[ 本文章最後由 skywalkerJ.L. 於 08-7-19 12:12 編輯 ]

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