誰可以教我微分的原理?

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Baskiya

名望的居民

電梯直達

1^#

發表於 06-3-2 20:33:05 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

我知道怎麼微分,也學過極限那些有的沒,
但是老一輩的只告訴我會算就好,
可是我很想知道原理,
可以請各位大大告訴我嘛?
(目前是高一生,拿去算多項式跟力學很方便,所以想學,會用,但不知原理和使用時機)
這好像是很多人都不知道原理,
我認為如果只知道微分要怎麼算,而不知道原理,那數學就是死的

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q28110883

名望的騎士

2^#

發表於 06-3-2 20:54:41 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 誰可以教我微分的原理?

1. 幾何意義
在二次平面的一條曲線，我們可以考慮它在每一點的斜率的改變。
假設曲線的方程為y=f(x)。在x=t時，y=f(t)。曲線上的點A的坐標為(t,f(t))。考慮把
t增大少許。當x=t+h時，y=f(t+h)。曲線上點B的坐標為(t+h,f(t+h))。那麼連起A和B
的線的斜率就是
(f(t+h)-f(t))/h

當A和B的距離越來越小，也就是說h越來越接近0，那麼AB就越來越接近曲線，也越來越
接近曲線在A點的切線的斜率。在此，我們可以接入極限
lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h
這一點就是曲線在A點的切線的斜率。同時，這亦是微分的"first principle"

2. 寫法
一般我們考慮對f(x)微分時，會寫
df(x)
_____
dx

3. 性質
你可以嘗試由first principle 得到下列性質
1. d/dx (x^n) = nx^(n-1)
2. d/dx (sinx) = cosx
3. d/dx (cosx) = -sinx
4. d/dx (tanx) = sec^2 x
等等

範例：由first principle證明 d/dx ( sinx) = cosx
d/dx ( sin x)
=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h
=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化積)
=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)
=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]
=lim h->0 cos[x+(h/2)]
=cosx
上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一個很著名的結果，你可以試試證明。

4. 鏈法則 ( Chain rule)
當我們考慮df(y)/dx 的時候，可以怎樣做呢？
我們可以運用鏈法則
du/dx=du/dv * dv/dx
例子：
d/dx ( cos^2 x)
=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx
=2cos x * (-sinx)
=-2sinxcosx
上面就用到了鏈法則

這是細微分~

是這個嗎? 我也不清楚~

轉自:ASP 討論版

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habel

一般的鄉紳

3^#

發表於 06-3-7 00:54:37 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 誰可以教我微分的原理?

其實最基本的微分蠻簡單的

舉個例子你就知道

X三次方+X兩次方+X一次方+常數=0

微分依次之後

3X兩次方+2X一次方+1+0(常數消掉)=0

在一次微分

6X一次方+2=0

這樣說起來很模糊我用小畫家來^^

高中大概只會用到這樣哦^^

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青雲

無名的鄉紳

4^#

發表於 06-3-7 21:49:25 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 誰可以教我微分的原理?

微分...
用畫的會比較好解釋...
簡單的說...
就是某一通過曲線上兩點的直線(割線)...
當此兩點在曲線上的距離是無限近時...
這個直線我們是為切線...
而這個就是最基本的微分定義...
(所以才會用到lim...)

至於其他鏈鎖律或是其他函數微分...
這都是根據最基本的定義所推出來的...

問你何時曾看見這世界為了人們改變
有了夢寐以求的容顏是否就算是擁有春天

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