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挑戰(12)

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 06-2-23 17:14:22 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1.試求所有這樣的正整數a，使得二次方程式a(x^2)+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數根

2.已知一元二次方程式(x^2)+(m+17)x+m-2=0的兩個根都是正整數，求整數m的值

3.設方程(x^2)-px+q=0，(x^2)-qx+p=0的根都是正整數，求正整數p，q的值

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青雲

無名的鄉紳

2^#

發表於 06-2-25 12:34:39 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

[quote=M.N.M.]1.試求所有這樣的正整數a，使得二次方程式a(x^2)+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數根

2.已知一元二次方程式(x^2)+(m+17)x+m-2=0的兩個根都是正整數，求整數m的值

3.設方程(x^2)-px+q=0，(x^2)-qx+p=0的根都是正整數，求正整數p，q的值[/quote]

= =...
我不知道算的對不對耶...
我算的是a大於等於1...
判別式算的...
但我算不出"所有這樣的正整數"...
祇能帶出幾個答案而已...

第二題...
我用根與系數...只能得之兩根必為一正一負...
(這個我確定我的算是沒錯...)
令a,b皆為其根...
a+b=-m-17
ab=m-2
則a+b+ab=-19
a(1+b)+(b+1)=-18
(b+1)(a+1)=-18
所以兩根必為一正一負

第三題就沒去算了...

問你何時曾看見這世界為了人們改變
有了夢寐以求的容顏是否就算是擁有春天

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a26926236

一般的居民

3^#

發表於 06-2-26 17:25:56 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

3
(x^2)-px+q=0，(x^2)-qx+p=0
(x-根號q)^2=x^2+2*x*q+q
所以得到p=2*根號q
(x-根號p)^2=x^2+2*x*p+p
所以得到q=2*根號p
由以上兩個式子得到
q^2=4*p  p^2=4*q
所以 p^4=64*p =>得 p=4
所以 q^4=64*q =>得 q=4
由以上得  p.q皆=4
請大大檢查看我有沒有錯誤= =

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M.N.M.

名望的英雄

4^#

發表於 06-2-26 17:37:57 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

[quote=a26926236]3
(x^2)-px+q=0，(x^2)-qx+p=0
(x-根號q)^2=x^2+2*x*q+q
所以得到p=2*根號q
(x-根號p)^2=x^2+2*x*p+p
所以得到q=2*根號p
由以上兩個式子得到
q^2=4*p p^2=4*q
所以 p^4=64*p =>得 p=4
所以 q^4=64*q =>得 q=4
由以上得 p.q皆=4
請大大檢查看我有沒有錯誤= =[/quote]
你只解出其中一組喔，再想想吧XD

[quote=青雲]= =...
我不知道算的對不對耶...
我算的是a大於等於1...
判別式算的...
但我算不出"所有這樣的正整數"...
祇能帶出幾個答案而已...

第二題...
我用根與系數...只能得之兩根必為一正一負...
(這個我確定我的算是沒錯...)
令a,b皆為其根...
a+b=-m-17
ab=m-2
則a+b+ab=-19
a(1+b)+(b+1)=-18
(b+1)(a+1)=-18
所以兩根必為一正一負

第三題就沒去算了...[/quote]
第一題用的不是一元二次常用的解法

第二題不一定都需用根與係數關係來解題

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a26926236

一般的居民

5^#

發表於 06-2-26 17:43:42 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

補充一下 p.q 可以=5.6吧@@"

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a26926236

一般的居民

6^#

發表於 06-2-26 18:04:53 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

[quote=M.N.M.]你只解出其中一組喔，再想想吧XD

補充一下~~P.Q= 5.6

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M.N.M.

名望的英雄

7^#

發表於 06-2-26 19:58:06 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

[quote=a26926236]補充一下 p.q 可以=5.6吧@@"[/quote]
kuku
這樣三組解都解出來了XDD
剩下一、二題了XD

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M.N.M.

名望的英雄

8^#

發表於 06-3-8 01:47:13 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰(12)

[解答]
1.
首先a明顯不為0
方程式變形為a=2(x+6)/[(x+2)^3]，又a是正整數，則
2(x+6)/[(x+2)^3]≧1
=>2≧x≧-4(x≠-2)
x=-4，-3，-1，0，1，2代入a=2(x+6)/[(x+2)^3]
=>a=1，3，6，10

2.
因為有兩正根，所以m-17<0，m-2>0
=>17>m>2
判別式必為完全平方數

D=(m-17)^2-4(m-2)=m^2-38m+297
設m^2-38m+297=n^2(n為正整數)
=>(m-19)^2-n^2=64
=>(m+n-19)(m-n-19)=64
m+n-19>m-n-19，且同奇偶
(i)
m+n-19=16，m-n-19=4
=>m=29(不合)
(ii)
m+n-19=32，m-n-19=2
=>m=36(不合)
(iii)
m+n-19=-4，m-n-19=-16
=>m=9(合)
(iiii)
m+n-19=-2，m-n-19=-32
=>m=2(不合)

所以m=9

(3)a26926236已解出

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