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挑戰28

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 06-4-24 15:56:34 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

甲，乙，丙，丁，戊五人排成一列，試分別求出下列各情形的排列數:
(1)甲在首
(2)甲不在首
(3)甲既不在首又不在尾
(4)甲在首而乙在尾
(5)甲在首而乙不在尾
(6)甲，乙相鄰
(7)甲，乙不相鄰
(8)甲，乙二人之間夾有其他三人之一
(9)甲，乙，丙三人連著排
(10)甲，乙，丙三人全分開
(11)甲，乙相鄰而丁，戊分開
(12)甲，乙不相鄰；丁，戊也不相鄰
(13)甲在乙前，丙在乙後
(14)甲在乙，丙之前
(15)乙，丙須在甲，戊之間(但甲，戊之間不一定只有乙，丙兩人)
(16)首，尾不得排甲，乙
(17)甲，乙，丙三人中恰有兩人相鄰
(18)甲不在首，乙不在尾
(19)甲，乙不在首；丙，丁不在尾
(20)甲，乙不在首；乙，丙，丁不在尾
(21)甲，乙，丙在頭三個位置
(22)甲不排首，乙不排中，丙不排尾

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駕馭神ㄉ男人

名望的居民

2^#

發表於 06-4-26 21:31:50 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

(1)4!
(2)5!-4!
(3)C(3.1)*4!
(4)3!
(5)4!-3!
(6)4!*2
(7)3!*P(4.2)
(8)C(3.1)*3!*2!
(9)3!
(10)3!*2!
(11)2*2*P(4.2)
(12)(5!/2!*2!)
(13)5!/3!
(14)(5!/3!)*2
(15)(5!/4!)*2*2
(16)C(3.2)*2!*3!
(17)5!-3!-3!*2!
(18)5!-2*4!+1*3!
(19)5!-2*4!-2*4!+2*2*3!
(20)1*3*3*2*1+1*2*3*2*1=30
(21)3!*2!
(22)5!-3*4!+3*3!-1*2!

SOR~~阿!!我很懒
懒的乘開拉.......=''=

我喜歡那風...那獨自吹起的風.........

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M.N.M.

名望的英雄

3^#

發表於 06-4-26 23:39:54 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

不正解的有(9)(11)(12)(17)
剩下都解出來了
可惜沒解到最後(囧
再努力XD

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駕馭神ㄉ男人

名望的居民

4^#

發表於 06-4-27 18:32:14 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

(9)3!*3!
(11)2!*2!*p(3.2)
(12)5!-4!*2!-4!*2!+3!*2!*2!
(17)5!-3!*3!-3!*2!

生氣.....不是少乘就是多乘....=''=

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M.N.M.

名望的英雄

5^#

發表於 06-4-27 22:48:57 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

嗯
都解出來了XD
大家都有相同的痛(拍肩

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M.N.M.

名望的英雄

6^#

發表於 06-4-29 02:52:32 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

既然都解出來了，那就放解答了(炸

(1)甲在首
甲XXXX
XXXX有4!的排法數
1*4!=4!=24

(2)甲不在首
解法1:
甲不在首=全排列-甲排首=5!-4!=96
解法2:
XOOOO
甲放入O有P(4，1)的方法數，剩餘的有4!的排法數
P(4，1)*4!=96

(3)甲既不在首又不在尾
解法1:
甲既不在首又不在尾=全排列-甲排首-甲排尾=5!-4!-4!=72
解法2:
XOOOX
甲放入O有P(3，1)的排法數，剩餘的排有4!的排法數
P(3，1)*4!=72

(4)甲在首而乙在尾
甲XXX乙
XXX排法為3!，甲乙固定不需重排
3!*1=6

(5)甲在首而乙不在尾
解法1:
甲在首而乙不在尾=甲排首-甲在首而乙在尾=4!-3!=18
解法2:
甲OOOX
乙放入O有P(3，1)的排法數，剩餘的排有3!的排法數
P(3，1)*3!=18

(6)甲，乙相鄰
將甲乙排在一起有2!排法
將甲乙看成一個與丙，丁，戊排有4!
2!*4!=48

(7)甲，乙不相鄰
解法1:
甲，乙不相鄰=全排列-甲，乙相鄰=5!-2!*4!=72
解法2:
XOXOXOX
將丙丁戊排入O有3!的排法數
再將甲乙放入X有P(4，2)的排法數
3!*P(4，2)=72

(8)甲，乙二人之間夾有其他三人之一
甲O乙XX
首先甲乙重排有2!，O可放入一人有3人可選
2!*3
再來將甲O乙看成一個與剩餘的兩個排，有3!的排法數
2!*3*3!=24

(9)甲，乙，丙三人連著排
甲乙丙排在起有3!的排法數
再來將甲乙丙看成一個與剩餘的排，排法數有3!
3!*3!=36

(10)甲，乙，丙三人全分開
XOXOX
丁、戊放入O排法數有2!
甲，乙，丙放入X有3!的排法數
2!*3!=12

(11)甲，乙相鄰而丁，戊分開
先甲，乙排在一起有2!的排法數
XOXOX
把甲乙看成一個與丙排入O有2!的排法數
最後將丁、戊放入X有P(3，2)的排法數
2!*2!*P(3，2)=24

(12)甲，乙不相鄰；丁，戊也不相鄰
甲，乙不相鄰；丁，戊也不相鄰=(甲，乙不相鄰)-(甲，乙不相鄰；丁，戊也相鄰)
甲，乙不相鄰=全排列-甲，乙相鄰=5!-2!*4!=72
XOXOX
丁戊排在一起有2!排法數
丁戊看成一個與丙排入O有2!的排法數
最後甲乙排入X，有P(3，2)的排法數
(甲，乙不相鄰)-(甲，乙不相鄰；丁，戊也相鄰)=72-[2!*2!*P(3，2)]
=72-24
=48

(13)甲在乙前，丙在乙後
順序為甲→乙→丙
5!/3!=20

(14)甲在乙，丙之前
順序為甲→乙→丙或順序為甲→丙→乙
2*(5!/3!)=40

(15)乙，丙須在甲，戊之間(但甲，戊之間不一定只有乙，丙兩人)
甲戊之間可以兩人或三人

甲戊之間可以兩人時
此時甲戊之間只能放入乙，丙
甲戊有2!排法數，乙丙有2!的排法數
最後甲乙丙戊看成一個與丁排有2!的排法數

甲戊之間可以三人時
甲戊有2!排法數，丙丁戊有3!的排法數

2!*2!*2!+2!*3!=20

(16)首，尾不得排甲，乙
XOOOX
甲乙放入O有P(3，2)的排法數，剩餘的有3!的排法數
P(3，2)*3!=36

(17)甲，乙，丙三人中恰有兩人相鄰
解法1:
甲，乙，丙三人中恰有兩人相鄰=全排列-(甲乙丙皆不相鄰+甲乙丙皆相鄰)
5!-(12+36)=72
解法2:
三人中選兩人排列有P(3，2)
XOXOX
丁、戊放入O有2!的排法數
將三人中選出的兩人為一組與沒選入的排入X有P(3，2)的排法數
P(3，2)*2!*P(3，2)=72

(18)甲不在首，乙不在尾
解法1:
甲不在首，乙不在尾=全排列-(甲排首+乙排尾-甲在首且乙在尾)
=120-(24+24-6)=78
解法2:
排容原理
C(2，0)*5!-C(2，1)*4!+C(2，0)*3!
=120-2*24+6=78

(19)甲，乙不在首；丙，丁不在尾
解法1:
甲，乙不在首；丙，丁不在尾=全排列-(甲乙排首+丙丁排末-甲乙排首且丙丁排末)
甲乙排首:
甲乙排在首有C(2，1)選取法
再與剩下未選取的4個排有4!的排法數
C(2，1)*4!，同理丙，丁不在尾也是C(2，1)*4!的排法數

甲乙排首且丙丁排末:
甲乙排在首有C(2，1)選取法，同理丙丁排尾也是C(2，1)選取法
最後未選到排入中間的三個位置有3!的排法數
C(2，1)*C(2，1)*3!

全排列-(甲乙排首+丙丁排末-甲乙排首且丙丁排末)
=5!-[C(2，1)*4!+C(2，1)*4!-C(2，1)*C(2，1)*3!]
=48
解法2:公式解
5!-(2+2)4!+(2X2)3!=48

(20)甲，乙不在首；乙，丙，丁不在尾
公式解:
5!-5*4!+5*3!=30

(21)甲，乙，丙在頭三個位置
先將甲乙丙排頭三個有3!的排法數，剩下位置由丁、戊排有2!的排法數
3!*2!=12

(22)甲不排首，乙不排中，丙不排尾
解法1:
甲不排首，乙不排中，丙不排尾=全排列-(甲排首或乙排中或丙排尾)
甲排首有4!的排法數，同理乙排中有4!，丙排尾有4!
甲排首且乙排中有3!排法數，同理乙排中且丙排尾有3!排法數，甲排首且丙排尾有3!排法數
甲排首且乙排中且丙排尾有2!的排法數
5!-(4!+4!+4!-3!-3!-3!+2!)
=64
解法2:
公式解:
5!-3*4!+3*3!-2!=64

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7^#

發表於 06-5-1 17:16:16 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

12)甲，乙不相鄰；丁，戊也不相鄰
甲，乙不相鄰；丁，戊也不相鄰[COLOR="red"]=(甲，乙不相鄰)-(甲，乙不相鄰；丁，戊也相鄰)
=>怪怪的
我的方法
   甲，乙不相鄰；丁，戊也不相鄰=全-(甲，乙相鄰)-(丁，戊也相鄰)+(甲，乙相鄰且丁，  戊也相鄰)
   感覺較清楚，那方法感覺較麻煩....還是我不聊解其中的奧妙.......=''=

(15)乙，丙須在甲，戊之間(但甲，戊之間不一定只有乙，丙兩人)
   法2
      先視甲乙戊丁為相同物=>5!/4!
      再把甲乙戊丁考慮進去=>5!/4!*2!*2!(甲戊互換.乙丙互換)
(19)甲，乙不在首；丙，丁不在尾
   解法2:公式解
         5!-(2+2)4!+(2X2)3!=48 怎模回事阿....我還太嫩的說
(20)甲，乙不在首；乙，丙，丁不在尾
   公式解:
   5!-5*4!+5*3!=30

(19)(20)怎模回事阿.沒看過公式解.....可以教我嗎??3Q

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M.N.M.

名望的英雄

8^#

發表於 06-5-1 17:54:12 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

在下只是用不一樣的解法，別在意(拍肩
錯列公式：
n人排成一列，一人受限，則方法數為n!-(n-1)!
(係數與a-b同)
n人排成一列，二人受限，則方法數為n!-2(n-1)!+(n-2)!
(係數與(a-b)^2同)
n人排成一列，三人受限，則方法數為n!-3(n-1)!+3(n-2)!-(n-3)!
(係數與(a-b)^3同)
.....以此類推
----------------------
n個不同的元素，從中任選m個元素不重複排成一列
若某一受限a個元素不得排某一位置，另外b個元素(與前a個元素無重複)不得排另一個特定位置，則排列數為
P(n，m)-(a+b)P(n-1，m-1)+(a*b)P(n-2，m-2)

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9^#

發表於 06-5-1 18:35:24 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆: 挑戰28

懂了~~!!超感謝的

錯排的係數=巴斯卡三角形
      1 1
   1  2  1
   1 3 3 1
         .
         .以此類推~~對吧!

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