挑戰52

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 06-9-1 18:04:14 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1.設實數p使得下列不等式
2x^2+25≦13y+10z+p
3y^2+25≦6z+10x
4z^2+25≦6x+5y-p
有實數解x.y.z，則p=？

2.若函數滿足f(93)=93，且對每一正整數n，f(n)+f(n+3)=n^2恆
成立，則f(30)=？

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蒼紅弦月巧克力發表於 06-9-1 18:09 聲望 + 2 枚

hydralisk

一般的騎士

2^#

發表於 06-9-1 20:25:25 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

挑軟柿子吃
2.
f(30)+f(33)=30^2                                     1
-[f(33)+f(36)=-33^2]       偶數像要加負號    2
f(36)+f(39)=36^2                                     3
      .                                                    4
      .
      .
f(90)+f(93)=90^2                                  21
+)
-----------------------
f(30)+f(93)=9*(10^2-11^2+......+30^2)=4590
所以
f(30)=4590-93=4491

再來解第一題

把三個式子相加
再整理
==>2(x-4)^2+3(y-3)^2+4(z-2)^2≦0
所以
x=4          y=3          z=2
代入第一，三式
-2≦ P≦2

[ 本文最後由 hydralisk 於 06-9-2 12:22 PM 編輯 ]

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傲月光希

名望的騎士

3^#

發表於 06-9-1 20:42:08 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由 M.N.M. 於 06-9-1 06:04 PM 發表
2.若函數滿足f(93)=93，且對每一正整數n，f(n)+f(n+3)=n^2恆
成立，則f(30)=？

f(90)+f(93)=90^2
f(87)+f(90)=87^2
　　　　．
　　　　．
　　　　．
f(30)+f(33)=30^2

由上面等式，由上減下，得到f(93)-f(30)=90^2-87^2-...-30^2=90^2-(97^2+...+30^2)
　　　　29　　　　　　　　　29　　9
=90^2-[Σ(3k)^2]=90^2-9[Σk^2-Σk^2]=90^2-9[(29*30*59/6)-(9*10*19/6)]
　　　　k=10　　　　　　　k=1　　k=1
=8100-[8555-285]=8100-8270=-170

所以f(30)=170+93=263
　　　n
(P.S.Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 k=1->n)
　　k=1
我只能想到這招再加上小算盤的幫助，算出這個答案，不知道對不對(囧

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aeoexe

名望的鄉紳

4^#

發表於 06-9-1 20:45:18 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

終於也能算了....
2.若函數滿足f(93)=93，且對每一正整數n，f(n)+f(n+3)=n^2恆
成立，則f(30)=？
f(n+3)=n^2-f(n)
f(96)=93^2-f(93)
f(90)=90^2-f(93)
f(96)-f(90)=(93-90)(93+90)
證明:在f(93)=93,及每一個正整數n,f(n)+f(n+3)=n^2的情況下,f(96-6k+6)-f(96-6k)=3(192-12k+3)
k=1
f(96)-f(90)
=(93)^2-f(93)+f(93)-(90)^2
=3*183
=3*(192-12+3)
k=>k+1
f(96-6k)-f(96-6k-6)
=(96-6k-3)^2-f(96-6k-3)+f(96-6k-3)-f(96-6k-6)^2
=(96-6k-3)^2-(96-6k-6)^2
=3(192-12k-9)
=3[192-12(k+1)+3]
證明等式成立
f(96)=93^2-93=8556
f(96)-f(90)+f(90)-f(84)+.....+f(36)-f(30)
=3(192-12+3)+3(192-24+3)+......+3(192-132+3)
f(96)-f(30)=3(192*11-12(1+....+11)+3*11)
f(96)-f(30)=4059
8556-f(30)=4059
f(30)=4497
打錯了..
OTZ...
補充了一些東西了...

[ 本文最後由 aeoexe 於 06-9-1 11:55 PM 編輯 ]