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挑戰69

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 07-1-28 17:47:30 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1.如附件1所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值為何?

2.如附件2所示，在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC、AD的延長線交於點P。求 AB * S△PAB 的最小值

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-1-28 07:18 PM 編輯 ]

挑戰69-1.JPG

挑戰69-2.JPG

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傲月光希

名望的騎士

2^#

發表於 07-1-28 18:23:18 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由M.N.M. 於 07-1-28 05:47 PM 發表
1.如附件所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值為何?

如附圖所示

(∠A+∠1)+(∠B+∠2)+(∠C+∠3)+(∠D+∠4)+(∠E+∠5)+(∠F+∠6)+(∠G+∠7)=180*(7-2)=900度

又之∠1、∠2、...、∠7是中間七邊形的外角

所以∠1+∠2+...+∠7=360度

因此∠A+∠B+...+∠G=900-(∠1+∠2+...+∠7)=900-360=540度

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‧幻星〞

一般的鄉紳

3^#

發表於 07-1-28 21:03:30 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

別人答過了我可以再解一次嗎= =??

用不一樣的解法
角2+角3=角4+角5
所求變成三角形BDF內角和+四邊形ACEG內角和=180度+360度=540度

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turnX

名望的騎士

4^#

發表於 07-1-28 22:08:12 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

to M.N.M.
AB * S△PAB

S△PAB <==是指三角形面積?
所以是求 min{AB線段長*三角形PAB面積}

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傲月光希

名望的騎士

5^#

發表於 07-1-28 22:09:28 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由turnX 於 07-1-28 10:08 PM 發表
to M.N.M.
AB * S△PAB

S△PAB <==是指三角形面積?
所以是求 min{AB線段長*三角形PAB面積}

的確是如此(點頭

(謎：你又不是小M)

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M.N.M.

名望的英雄

6^#

發表於 07-1-28 22:18:40 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由turnX 於 07-1-28 10:08 PM 發表
to M.N.M.
AB * S△PAB

S△PAB <==是指三角形面積?
所以是求 min{AB線段長*三角形PAB面積}

正是如此

另外S改成A也是可以的

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turnX

名望的騎士

7^#

發表於 07-1-28 23:31:46 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

XD...我忘了乘上AB.....修正一下!

我設AB為x

最後得出 AB* S△PAB = (x^4)/(x^2-1)
x必大於0
最後找到x=根號(2)時有極值.所以代入得值 4

Ans:4

找不到空間.....
我說明作法好了.我是用座標解析的方式求得上面的式子
令A點為(1,0) D點為(0,0) B點為(1,x) 也就是AB線段長x
接下來 C點就是( cos(theta),sin(theta) )
而P點是利用直線BC 和直線AD 去得出座標為( (xcos(theta)-sin(theta))/(x-sin(theta)) , 0 )

然後根據三角函數可以得到
cos(theta)=(1-x^2)/(1+x^2)
sin(theta)=(2x)/(1+x^2)

如此就可以消去theta變量得到
AB* S△PAB = (x^4)/(x^2-1)

再利用微分方式去尋找極值發生點
得到x=根號(2)後代入式子得到min為 4

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-29 06:21 AM 編輯 ]

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M.N.M.

名望的英雄

8^#

發表於 07-1-29 10:12:27 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

提供第二題另一種解法
設DP=x，PC=[(x^2)-1]^1/2

在△PCD與△PAB中
∵∠P=∠P，∠PCD=∠PAB
∴Rt△PCD~Rt△PAB(AA')
∴CD/AB=PC/PA
則AB=(x+1)/[(x^2)-1]^1/2

AB*S△PAB =(1/2)(AB^2)PA
=(1/2)[(x+1)^2]/(x-1)

設y=(1/2)[(x+1)^2]/(x-1)
=>(x^2)-2(1-y)x+(1+2y)=0

∵x為實數
∴判別式≧0
4[(1-y)^2]-4(1+2y)=4y(y-4)≧0

∵y>0

∴y≧4

故AB*S△PAB 之最小值為4

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-1-29 11:12 PM 編輯 ]

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神光

名望的居民

9^#

發表於 07-1-29 22:47:26 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

提供第二題另一種解法XD
設DP=x，PC=[(x^2)-1]^1/2

明顯地,△DAB全等於△DCB..
所以,
S△PAB = (1/2)AB +(1/2)AB + 1/2(X^2-1)^1/2
(1/2)AB(1+X)= AB +1/2(X^2-1)^1/2
AB= [(X^2-1)^1/2]/X-1

AB*S△PAB = AB^2 +(1/2)(X^2-1)^1/2 *AB = [(X+1)^2]/X-1

之後的解法, 與 M大的相同

[ 本文最後由神光於 07-1-29 10:49 PM 編輯 ]

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