初等微積分－極限與連續(1)

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傲月光希

電梯直達

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發表於 07-1-14 02:03:51 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1.函數極限的定義：
我們可以以下的定義來表示，會比用經驗來求函數的極限嚴謹些。
所謂的極限是指當我們函數的自變數x很靠近某一點，但並不是那個點，它會逼近一個固定的值。若那個值存在，則我們就說它有極限。

這邊的意思是說，對所有大於0的實數ε(隨便給我一個ε的值)，在極限值左右±ε時，我可以找到一個大於0的實數δ，使得x介於a±δ之間且屬於f的定義域時，我的f(X)會介於L±ε之間，也就是|f(x)-L|<ε。

P.S.符號解釋：

2.函數的左右極限：
定義完函數的極限之後，接下來來定義什麼是函數的左右極限。
所謂的左極限是指當函數的x從你要逼近的一個點的左邊來逼近，而且值要存在，定義如下：

右極限亦然，定義如下：

當你的左右極限的值都相等的時候，則我的說a的的極限存在而且就是那個值。

3.函數的無窮極限：
前面討論的是當函數逼近於定義獄中的某個點時的極限，現在我們要定義當x逼近±∞時的極限。
當f(x)在逼近正∞時的極限存在，且為L，則定義如下：

它的意思是說對所有大於0的實數ε，我一定可以找到一個大於0的實數M，使得當x在M之後的函數值會很靠近L，就是說|f(x)-L|會小於ε。

當x逼近於-∞時亦然，定義如下：

當函數的x逼近於某定點a時，則函數值趨近於正無窮大，我們用數學極限寫作

定義如下：

跟上述的解釋類似，因此不再多作解釋。

當函數的x逼近於某定點a時，則函數值趨近於正無窮大，我們用數學極限寫作

定義如下：

當函數的x逼近正無窮大時，函數值逼近正無窮大，用數學極限表示為

定義如下：

當函數的x逼近正無窮大時，函數值逼近負無窮大，用數學極限表示為

定義如下：

當函數的x逼近負無窮大時，函數值逼近正無窮大，用數學極限表示為

定義如下：

當函數的x逼近負無窮大時，函數值逼近負無窮大，用數學極限表示為

定義如下：

EXERCISE
1.依極限定義，證明

2.證明

3.依極限定義證明

4.試用極限定義證明

不存在
5.試用極限定義證明

[ 本文最後由傲月光希於 07-2-19 09:07 PM 編輯 ]

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發表於 07-2-1 10:46:22 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

δ-ε 定理這個讓我微積分小考考差 = =|||

這是比較嚴謹的証明法

不然只要有
有左極限和右極限，且左極限=右極限
就可以說他有極限了^^

目前在學工數奮戰中

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