有關標準分解式的應用

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逸森

一般的居民

電梯直達

1^#

發表於 07-7-25 09:43:21 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

整數部份，讀到標準分解式的章節，正因數個數和正因數之和的公式都還能理解......但讀到後面，還有什麼......a的正因數乘積、小於a且與a互質的自然數 (a為自然數)的公式，那些公式我就理解不了了，xD
懇請大大幫幫我～

a為自然數，a的標準分解式為 a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an
是否可推出以下公式：
1.a的所有正整數乘積=根號(a^a的正整數個數)

2.小於a且與a互質的自然數個數=a(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn)

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最後的沉默者

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turnX

名望的騎士

2^#

發表於 07-7-25 17:27:19 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.a的所有正整數乘積=根號(a^a的正整數個數)
2.小於a且與a互質的自然數個數=a(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn)

第一點還好
12=1*12=2*6=3*4 (有六個正整數) 彼此相乘都等於12 乘積為12*12*12=12^3
因此為 12^(6/2)=12^3 => 12^(正因數個數/2)

第二點是尤拉phi函式
該怎麼解釋?好像很難解釋
12=2*2*3
12*(1/2)*(2/3)=4

12*(1-1/2) 就是排去2的倍數
12*(1-1/3) 就是排去3的倍數
12*(1-1/2)*(1-1/3) 就是排去2和3的倍數

你可發現到排容原理! (1-1/2)*(1-1/3) = 1-(1/2)-(1/3)+(1/6)

30=2*3*5

(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=1-(1/2+1/3+1/5)+(1/10+1/15+1/6)-1/30
排容原理

就是這樣!

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-25 05:34 PM 編輯 ]

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