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挑戰110

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 07-9-12 22:57:16 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

國中
1.某三正整數成等差數列，其和為36，若各項依次加1，4，43後，成等比數列，試求此三數

2.若1+2*3+3*(3^2)+......+n*3^(n-1)=547，求n=?

3.相異三數a，b，c成等差數列，又b，c，a成等比數列，已知abc=125，求a，b，c

高中
1.a，b屬於{1，3，5，7，9}，b>a，若p=0.ababab...，q=0.abaabaaba...(p，q皆為無限循環純小數)，求│p-q│之最小值與最大值

2.袋中有n張卡片，分別寫上1至n個號碼，今任抽兩張卡片，求其二相異號碼乘積之和

3.每一個n屬於正整數，試證:2^(n+1)>(n^2)+n+1

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red04101014D

一般的騎士

2^#

發表於 07-9-12 23:51:12 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

國中
3.由a，b，c成等差數列得知b-a=c-b
由b，c，a成等比數列得知c/b=a/c
b-a=c-b=>c=2b-a
c/b=a/c=>c^2=ab
(2b-a)^2=ab
4b^2-4ab+a^2=ab
4b^2-5ab+a^2=0
(a-4b)(a-b)=0
a=4b或a=b
在a=4b時c=2b-a=2b-4b=-2b
由abc=125得知-8b^3=125=>b=-5/2
a=4b=4*(-5/2)=-10
c=-2b=-2*(-5/2)=5
在a=b時c=2b-a=2b-b=b
由abc=125得知b^3=125=>b=5
a=b=5
c=b=5
三數為異數
Ans:(-10,-5/2,5)

[ 本文最後由 red04101014D 於 07-9-12 11:52 PM 編輯 ]

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:32 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

3^#

發表於 07-9-13 01:19:06 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

國中
2.若1+2*3+3*(3^2)+......+n*3^(n-1)=547，求n=?

使用不入流法- -/ , 別人也有答題機會

1=1
1+2*3=7
1+2*3+3*(3^2)=34
1+2*3+3*(3^2)+4*(3^3)=142
1+2*3+3*(3^2)+4*(3^3)+5*(3^4)=547
n=5

Ans:5

抱歉了!我讓大家覺得數學一點都不美XD(可用S,3S解喔)

數學版

好站
http://japanidealtoday.seesaa.net/

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:32 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

cfc21

名望的居民

4^#

發表於 07-9-13 05:38:47 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆 #1 M.N.M. 的文章

高中第2題
生病頭昏昏，講不好勿怪:)
http://163.32.74.12/cfc/960912/960912.html

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:32 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

*符文之子* 很棒(笑發表於 07-9-13 09:20 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

傲月光希

名望的騎士

5^#

發表於 07-9-13 09:12:53 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由M.N.M. 於 07-9-12 10:57 PM 發表
3.每一個n屬於正整數，試證:2^(n+1)>(n^2)+n+1

利用數學歸納法來證

(1) n=1時，2^(1+1)=4>(1^2)+1+1=3，成立
(2) 假設n=k時成立，這邊k≧2（這是為了滿足(＊)那一步），則當n=k+1時，想得到"2^(n+1)-[(n^2)+n+1]>0"這個結果
=>2^[(k+1)+1]-[(k+1)^2+(k+1)+1]=2*[2^(k+1)]-[k^2+2k+1+k+1+1]
=2*[2^(k+1)]-[(k^2+k+1)-(2k+2)](＊)>2*[2^(k+1)]-2*(k^2+k+1)=2*[2^(k+1)-(k^2+k+1)]>2*0=0，成立

由(1)、(2)與數學歸納法，原敘述成立

進入數學版滿月祭III相簿1 2

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:33 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

aeoexe

名望的鄉紳

6^#

發表於 07-9-13 17:15:55 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.某三正整數成等差數列，其和為36，若各項依次加1，4，43後，成等比數列，試求此三數
Let a-r,a,a+r is the three no.
(a-r)+(a+r)+a=36
a=12
(12-r+1)/(12+4)=(12+4)/(12+r+43)
r=9 or -51(rejected,because 12+(-51)=-39<0)
Therefore,these three no. are 3,12,21

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:33 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

7^#

發表於 07-9-13 22:12:43 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.a，b屬於{1，3，5，7，9}，b>a，若p=0.ababab...，q=0.abaabaaba...(p，q皆為無限循環純小數
)，求│p-q│之最小值與最大值

b>a 組數(a,b)為(1,3)(1,5)(1,7)(1,9)(3,5)(3,7)(3,9)(5,7)(5,9)(7,9)
各組數之差值
(1,3)=2
(1,5)=4
(1,7)=6
(1,9)=8
(3,5)=2
(3,7)=4
(3,9)=6
(5,7)=2
(5,9)=4
(7,9)=2

p=0.abababababab....
100p=ab.ababababababab
100p-p=10a+b
p=(10a+b)/99
同理
q=(100a+10b+a)/999
令p=(10a+b)/99
p-q=9(b-a)/(99*999)=(b-a)/(11*999)
|p-q|=|b-a|/(11*999)
當b=9 a=1時有極大值 8/(11*999)=8/10989
當b=3 a=1時(有多組)有極小值 2/(11*999)=2/10989

Max:8/10989
Min:2/10989

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:36 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

8^#

發表於 07-9-13 22:31:29 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

3.相異三數a，b，c成等差數列，又b，c，a成等比數列，已知abc=125，求a，b，c

另解
設b=d/r , c=d , a=dr
abc=125=d^3 => d=5
b=5/r , c=5 , a=5r
又a,b,c等差
a+c=2b
5+5r=10/r => r^2+r-2=0 => (r+2)(r-1)=0 r=1 or -2

當r=1
a=b=c=5 不合(因為相異三數)

當r=-2
a=-10 , b=-5/2 , c=5

Ans: a=-10 , b=-5/2 , c=5

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M.N.M. 正解發表於 07-9-15 22:38 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

9^#

發表於 07-9-16 11:48:20 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

2.若1+2*3+3*(3^2)+......+n*3^(n-1)=547，求n=?

另解

令S=1+2*3+3*(3^2)+......+n*3^(n-1)=547 ------------------------(1)
3S= 1*3+2*(3^2)+......+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n=3*547 ------------(2)

(1)-(2)
1+3+3^2+3^3+....+3^(n-1)-n*3^n=-1094
3+3^2+3^3+....+3^(n-1)-n*3^n=-1095
3*(3^(n-1)-1)/(3-1)-n*3^n=-1095
(3^n-3)/2-n*3^n=-1095
3^n-3-2n*3^n=-2190
(1-2n)*3^n=-2187=-3^7

當n=5時成立

[ 本文最後由 turnX 於 07-9-16 06:23 PM 編輯 ]

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M.N.M. 正解發表於 07-9-16 17:08 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

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