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挑戰70(寒假活動

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 07-1-29 12:49:24 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

此主題依然是開放的

有新解法的話可以繼續提供

不過聲望恢復成跟往常一樣最多+2

--------------------------------------------------------

第一名 turnX       10題

第二名 ‧幻星"    5題

第三名 tzhau       3題

----------------------------------------------------

1~12聲望+4
13~25聲望+5

一次回覆最多兩題(因為一篇最多只能給聲望+10
解法與先解出的解法相同但敘述不同也可
無詳解不能算對
---------------------------------------------------
這是總結算時
加算的↓
第一名鐵幣1000，聲望+50
第二名鐵幣500，聲望+30
第三名鐵幣250，聲望+10
----------------------------------------------------
有疑問請到
https://www.gamez.com.tw/thread-294715-1-1.html
發問
----------------------------------------------------

活動結束~~~~~~~~~~~XD
----------------------------------------------------
1.求不定方程(x^3)-(y^3)=xy+61的正整數解
#21

另解:
顯然x>y
設x=y+d
(y+d)^3 -y^3 =(y+d)y+61
=>3dy^2 +3yd^2 +d^3=(y+d)y+61
=>(3d-1)y^2 +d(3y-1)y+d^3=61
d^3<61
d≦3

(i)d=1時
2y^2 +2y+1=61
=>y=5代入(x^3)-(y^3)=xy+61
=>x=6

(ii)d=2時
5y^2 +10y+8=61
無正整數解

(iii)d=3時
8y^2 +24y+ 27=61
無正整數解

∴(x，y)=(6，5)

2.設a>b>0，求(a^2)+ {1/[b(a-b]}的最小值
#9

3.a+b+c=10，a、b、c均為正數，求abc+ac+ab+bc的最大值
#7

另解:
abc+ac+ab+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1
=(a+1)(b+1)(c+1)-11
≦{[(a+1)+(b+1)+(c+1)]/3}^3 -11
=(13/3)^3 -11
=1900/27

4.已知ABCD是一個半徑為R的圓內接四邊形，AB=12，CD=6，分別延長AB和DC，它相交於P，且BP=8，∠APD=60°，則R=?
#2

5.在△ABC中，AB=33cm，AC=21cm，BC=m cm，m為整數，又在AB上可找到D，在AC上可找E，使AD=DE=EC=n cm，n為整數，問m可取那些值?
圖如附件1
cos∠A=[(AB^2)+(AC^2)-(BC^2)]/(2*AB*AC)=[1530-(m^2)]/[2*(3^2)*7*11]
=[(AD^2)+(AC^2)-(DE^2)]/(2*AD*AE)=[(n^2)+(21-n)^2 –(n^2)]/[2n(21-n)]
=(21-n)/(2n)

=>n(2223-m^2)=(3^3)*(7^2)*11

由於m、n為正整數
∴n│(3^3)*(7^2)*11
又EC<AC，AD+DE>AE
7<n<21
∴n=9 or 11

(i)若n=9
m^2=2223-3*(7^2)*11=606
m不為正整數，不合

(ii)若n=11
m^2=2223-(3^3)*7=900
m=30

∴m=30

6.若函數f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)在區間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]
顯然f(x)之最大值為13/2

(i)當a<b≦0時，f(x)=在區間[a，b]上單調遞增
f(a)=2a，f(b)=2b
(-1/2)a^2 +(13/2)=2a
(-1/2)b^2 +(13/2)=2b
顯然a，b為(-1/2)x^2 -2x +(13/2)=0的兩個不同實根
a+b=-2
ab=-13/2
顯然a，b異號
不合

(ii)當a<0<b，f(x)在[a，0]遞增，f(x)在[0，b]遞減
f(0)=2b，min{f(a)，f(b)}=2a
f(0)=2b
=>b=13/4
f(a)=2a
(1/2)x^2 +(13/2)=2a
=>a=-2-17^(1/2)
(a，b)=(-2-17^(1/2)，13/4)

(iii)當0≦a<b時，f(x)在[a，b]上遞減
f(a)=2b，f(b)=2a
(-1/2)a^2 +(13/2)=2b
(-1/2)a^2 +(13/2)=2a
=>(a，b)=(1，3)

∴(a，b)=(1，3)，(-2-17^(1/2)，13/4)

7.求正整數k，n，使1!+2!+...+n!=k^2
#8

8.A種和B種藥片在外觀上完全一樣，工廠在生產時誤將它們裝在一樣的瓶子裏，但每個瓶子只裝一種藥，已知B藥片每片比A藥片重10毫克，每瓶裝藥150片。問:一次天平最多能分辨出多少瓶藥片?
從編號1至8的8個瓶子中分別取出1，2，2^2，2^3，…，2^7=128片藥
1+2+(2^2)+…+(2^7)=(2^8)-1=255
在天平上秤出總種量，這255片藥的總重比255片A種藥片總重相比，多出
10毫克為一單位，將多出的單位數寫成2進制數，如某位數字為0，則編號
為這位數的瓶子裝的是A藥片，否則裝的是B藥片

∵2^8=256>150
∴最多能分辨8瓶

9.有多少個完全平方數會是乘積1!*2!*3!*...*9!的因數?
#3

10.已知有5個正整數，其算數平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值有幾個?
#12
#13

11.已知x和y都是正整數，它們的常用對數的尾數之和等於1，(x^2)y的常用對數
的首數是3。求x，y的值
令log x=a+p，log y=b+q，a、b為正整數或0，0≦p＜1，0≦q＜1，p+q=1

log (x^2)y=2logx+logy=2(a+p)+q=(2a+b+1)+p

2a+b+1=3
2a+b=2

(a，b)=(0，2)，(1，0)

若(a，b)=(0，2)，則x<10
log xy=a+b+p+q=0+2+1=3
xy=1000
(x，y)=(2，500)，(4，250)，(5，200)，(8，125)

若(a，b)=(1，0)，則y<10
(x，y)=(50，2)，(25，4)，(20，5)

∴(x，y)=(2，500)，(4，250)，(5，200)，(8，125)，(50，2)，(25，4)，
(20，5)

12.設x，y，z是三個不同的互質的自然數，且任意兩數之和能被第三數整除，試
求這三個數
#15

13.設a、b、c均為整數，若a+b+c=3，(a^3)+(b^3)+(c^3)=3，求│a│+│b│+│c│之最大值
#27

另解法1:
用(a，b，c)=(1，1，1)代入顯然是一組解
a+b+c=3 =>a+b=3-c =>c=3-(a+b)
(a^3 +b^3 )+c^3=3
=>(a+b)[(a+b)^2 -3ab]+c^3 -27=-24
=>(3-c)[(3-c)^2 -3ab]+(c-3)(c^2 +3c+9)=-24
=>(3-c)(3ab+9c)=24
=>(3-c)(ab+c)=8

(3-c)│8，a+b=3-c=±1，±2，±4，±8，
=>c=4，2，5，1，7，-1，11，-5代入(3-c)(ab+c)=8
=>ab=-12，6，-9，3
=>(a，b)=(4，-3)，(3，-4)，(-12，1)，(12，-1)，(1，-12)，(-1，12)，
(1，6)，(6，1)，(2，3)，(3，2)，(-1，9)，(1，-9)，(9，-1)，(-9，1)，(3，-3)，(-3，3)，(3，1)，(1，3)代入a+b+c=3

∴ (a，b，c)=(4，-5，4)，(4，4，-5)，(-5，4，4)，(1，1，1)
∴│a│+│b│+│c│之最大值=4+5+4=13

另解法2:
a^3 +b^3+ c^3 -3abc
=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)
=3[(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)]

3-3abc=3[(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)]
=>1-abc=9-3(ab+bc+ca)
=>abc-3(ab+bc+ca)+8=0
=>abc-3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)-27=-8
=>(a-3)(b-3)(c-3)=-8
=>(a,b,c)=(-5,4,4),(4,-5,4),(4,4,-5),(1,1,1)

∴│a│+│b│+│c│之最大值=4+5+4=13

14.求(15+√220)^19 + (15+√220)^82的個位數
#11

15.若
[(x^3)/(2^3-1^3)] + [(y^3)/(2^3-3^3)] + [(z^3)/(2^3-5^3)] +
[(w^3)/(2^3-7^3)] = 1
[(x^3)/(4^3-1^3)] + [(y^3)/(4^3-3^3)] + [(z^3)/(4^3-5^3)] +
[(w^3)/(4^3-7^3)] = 1
[(x^3)/(6^3-1^3)] + [(y^3)/(6^3-3^3)] + [(z^3)/(6^3-5^3)] +
[(w^3)/(6^3-7^3)] = 1
[(x^3)/(8^3-1^3)] + [(y^3)/(8^3-3^3)] + [(z^3)/(8^3-5^3)] +
[(w^3)/(8^3-7^3)] = 1
則 x^3 + y^3 + z^3 + w^3 =？
觀察得知
2^3,4^3,6^3,8^3是關於t的方程式
x^3/(t-1^3)+y^3/(t-3^3)+z^3/(t-5^3)+w^3/(t-7^3)=1的根
通分化簡成
(t-1^3)(t-3^3)(t-5^3)(t-7^3)-x^3(t-3^3)(t-5^3)(t-7^3)
-y^3(t-1^3)(t-5^3)(t-7^3)-z^3(t-1^3)(t-3^3)(t-7^3)
-w^3(t-1^3)(t-3^3)(t-5^3)=0

這是t的四次多項式方程式，最多有四個根，就是2^3,4^3,6^3,8^3
所以方程式等價於(t-2^3)(t-4^3)(t-6^3)(t-8^3)=0
比較兩式t^3項係數
-1^3-3^3-5^3-7^3-x^3-y^3-w^3-z^3=-2^3-4^3-6^3-8^3
=>x^3+y^3+w^3+z^3=304

16.設f(x)是一個98次的多項式，使得
f(k)=1/k       ，k=1，2，3，...99
求f(100)的值
#17

17.若m，n均為正整數，則[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的最大值為?
#32

另解:
[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}
=[(mn+n+m+1)-(m+n+1)]/[(m+1)(n+1)(m+n+1)]
=mn/[(m+1)(n+1)(m+n+1)]

由於分子比較不複雜，可用倒數後求最小值再倒數回來
[(m+1)(n+1)(m+n+1)]/mn
=m+n+3+(m/n)+(n/m)+(2/n)+(2/m)+1/(mn)

(m/n)+(n/m) ≥2√[(n/m)(m/n)]=2
當(m/n)+(n/m) =2時，m=n

m+n+3+(m/n)+(n/m)+(2/n)+(2/m)+1/(mn)
≥2m+5+(4/m)+[1/(m^2)]=k

m=n=1
k=12

m=n=2時
k=45/4

m=n=3時
k=11+(4/3)+(1/9)>45/4

m=n=4時
k=13+1+(1/16)> 11+(4/3)+(1/9)
顯然n≥3時，k>45/4
即k=45/4有最小值
{[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]} ≦4/45

∴m=n=2時，有最大值{[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}=4/45

18已知a，b，c，d為非零實數，f(x)=(ax+b)/(cx+d)，x為實數，且f(19)=19
，f(97)=97，若當x不等於-d/c時，對於任意實數x，均有f[f(x)]=x，試求出
f(x)值域以外的唯一數
f[(f(x)]={a* [(ax+b)/(cx+d)] +b}/{c* [(ax+b)/(cx+d)] +d}=x
=>(a+d)cx^2 +(d^2 -a^2)x-b(a+d)=0
∵x≠-d/c
∴a+d=0，d^2 -a^2=0
=>d=-a

f(19)=19，f(97)=97，19、97為(ax+b)/(cx+d)=x的兩根
(ax+b)/(cx+d)=x
=>cx^2 +(d-a)x-b=0

(a-d)/c=97+19=116，-b/c=1843，又d=-a
∴a=58c，b=-1843c，d=-58c

f(x)=(58x-1843)/(x-58)

∵分母≠0
∴x=58是f(x)值域外的唯一數

19.已知x，y∈[-π/4，π/4]，a為實數，且
(x^3)+sinx-2a=0
4(y^3)+sinycosy+a=0
求cos(x+2y)的值
#23

20.設n為正整數，若n^3的末三位數字是888，則n的最小值為何?
#4

21.斯特凡妮(Stephanie)在商店裏想買10分錢的巧克力，在她的錢包裏有12枚硬幣，1分，、2分、5分和10分的各有三枚，她隨機地從錢包中取出三枚硬幣。她取出的硬幣至少夠付巧克力的錢的概率是多少?
#5
#29

22.設k為給定的正整數，試求最小正整數n，使得對任意n個整數，其中總存在兩個整數，它們的和或差被2k整除
#14

23.如果m和n是正整數，滿足
(m+n)/[(m^2)+mn+(n^2)]=4/49
則m+n=?
#22
#24
#31

24.n是一個正整數。關於x，y，z的方程2x+2y+z=n有28組正整數解，那麼n為何?
#19
#33

另解
(i)設n為2p，p為正整數，則z只能為偶數，即z可以為2，4，6...，2p-4
(∵4≦2x+2y)
則x+y可以為p-1，p-2，p-3，...，2
若x+y=k，則(x，y)有H(2，k-2)=K-1
∴解的組數有(p-2)+(p-3)+(p-4)+...+1=(p-1)(p-2)/2=28
=>p=9 or-6(-6不合)
n=2p=18

(ii)設n為2p+1，p為正整數，則z只能為奇數，即z可以為1，3，5，...，2p-3
(∵4≦2x+2y)
則x+y可以為p，p-1，p-2，...，2
若x+y=k，則(x，y)有H(2，k-2)=K-1
∴解的組數有(p-1)+(p-2)+(p-3)+...+1=(p-1)p/2=28
=>p=8 or-7(-7不合)
n=2p+1=17

∴n=17 or 18

25.滿足mn≧0，(m^3)+(n^3)+99mn=33^3的有序整數對(m，n)有多少對?
#20

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-23 07:36 PM 編輯 ]

遊戲直播

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天下聖凱

名望的鄉紳

2^#

發表於 07-1-29 14:39:40 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

4.由圓內接四邊形對角互補可知△PBC～△PDA(∠PCB=∠PAD，∠PBC=∠PDA)

∴PB:PD=PC:PA 8:(PC+6)=PC:20

∴PC=16

由PB=8，PC=16，∠BPC=60°可知△PBC為一直角三角形且∠PBC為直角

得知BC=8√3 又△ABC亦為直角三角形，∠ABC為直角

故AC=4√21=圓直徑

故R=AC/2=2√21#

[ 本文最後由天下聖凱於 07-1-29 02:43 PM 編輯 ]

覺得困難的，是人的心。

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M.N.M. 正解發表於 07-1-29 17:30 聲望 + 4 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

3^#

發表於 07-1-29 15:03:25 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

9.有多少個完全平方數會是乘積1!*2!*3!*...*9!的因數?
1!=1
2!=1*2
3!=1*2*3
4!=1*2*3*4
5!=1*2*3*4*5
6!=1*2*3*4*5*6
7!=1*2*3*4*5*6*7
8!=1*2*3*4*5*6*7*8
9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9
1!*2!*3!*...*9!=2^8*3^7*4^6*...*9
1!*2!*3!*...*9!=2^30*3^13*5^5*7^3
所以因數為完全平方數有
(30/2+1)*(12/2+1)*(4/2+1)*(2/2+1)
=16*7*3*2=672
Ans:672個

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M.N.M. 正解發表於 07-1-29 17:31 聲望 + 4 枚 回覆一般留言

tzhau

一般的居民

4^#

發表於 07-1-29 15:15:14 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

20.

20.  (i)從個位數來看，唯有2的三次方才會成為8 　　　所以個位數為2
　　
      (ii)從十位數來看，設十位數為x，則(10x +2)^3後兩位也為88

      (10x + 2)^3=1000x^3+600x^2+120x+8.................x為4或9

   (iii)當x=4時  ，設百位數字為y，則(100y+42)^3後三位也為888
　　　　
               (100y + 42)^3=1000000y^3+1260000y^2+529200y+74088...........y為4或9

         當x=9時  ，設百位數字為y，則(100y+92)^3後三位也為888

         (100y + 92)^3=1000000y^3+2760000y^2+2539200y+778688...........y為1或6


      因此滿足題意的數字有442、942、192、692....    最小值為192

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M.N.M. 正解發表於 07-1-29 17:34 聲望 + 5 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

5^#

發表於 07-1-29 15:38:43 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

21.斯特凡妮(Stephanie)在商店裏想買10分錢的巧克力，
在她的錢包裏有12枚硬幣，1分，、2分、5分和10分的各有
三枚，她隨機地從錢包中取出三枚硬幣。
她取出的硬幣至少夠付巧克力的錢的概率是多少?

有以下幾種組合方式

10+10+10  C(3,3)=1
10+10+5 C(3,2)*C(3,1)=9
10+10+2 C(3,2)*C(3,1)=9
10+10+1 C(3,2)*C(3,1)=9
10+5+5 C(3,2)*C(3,1)=9
10+5+2 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)=27
10+5+1 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)=27
10+2+2 C(3,2)*C(3,1)=9
10+2+1 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)=27
10+1+1 C(3,2)*C(3,1)=9
5+5+5    C(3,3)=1
5+5+2       C(3,2)*C(3,1)=9
5+5+1    C(3,2)*C(3,1)=9

可能情況有(1+9+9+9+9+27+27+9+27+9+1+9+9)=155

全部情況 C(12,3)=220

概率 155/220=31/44

Ans:31/44

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-29 03:43 PM 編輯 ]

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M.N.M. 正解發表於 07-1-29 17:36 聲望 + 5 枚 回覆一般留言

xvmon123

名望的居民

6^#

發表於 07-1-29 16:07:11 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

3.a+b+c=10，a、b、c均為正整數，求abc+ac+ab+bc的最大值
a+b+c/3>=3次根號abc
=> abc<=1000/27
[(根號a)平方+(根號b)平方+(根號c)平方][[(根號c)平方[(根號a)平方[(根號b)平方]>={ac+ab+bc}平方
=> ac+ab+bc<=10
所求為10+1000/27??

[ 本文最後由 xvmon123 於 07-1-29 09:34 PM 編輯 ]

[img]http://tinypic.com/a48n14.jpg[/img] 夏天到了...大家一起糟糕吧[color=black][color=white]!![/color](我的簽名檔會不會太激啊??)[/color]

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turnX

名望的騎士

7^#

發表於 07-1-29 16:17:16 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

3.a+b+c=10，a、b、c均為正整數，求abc+ac+ab+bc的最大值
利用算術平均>=幾何平均及柯西不等式
(a+b+c)/3>=開3方(abc)
10/3>=開三方(abc)
1000/27>=abc ------------(1)所以abc最大1000/27
(a^2+b^2+c^2) * (1^2+1^2+1^2) >= (a+b+c)^2
(a^2+b^2+c^2) >= 100/3
(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ac+ba+cb)
100=(a^2+b^2+c^2)+2(ac+ba+cb)
(a^2+b^2+c^2)越小,2(ac+ba+cb)越大
所以(a^2+b^2+c^2)取100/3
100-100/3>=2(ac+ba+cb)
100/3>=(ac+ba+cb)--------(2)
100/3+1000/27=1900/27
Ans:1900/27

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8^#

發表於 07-1-29 17:13:05 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

7.求正整數k，n，使1!+2!+...+n!=k^2

1!=1
1!+2!=3
1!+2!+3!=9
1!+2!+3!+4!=33
1!+2!+3!+4!+5!=120+33=153
1!+2!+3!+4!+5!+6!=720+120+33=873
接下來的階層都是個位數為0,而往後相加個位數為3
但是平方數的尾數要是0,1,4,5,6,9
所以無論加到多少個位數都是3顯然不合

所以只有二解
1!=1^2
1!+2!+3!=9=3^2
k=3,n=3和k=1,n=1此二解!

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-29 05:17 PM 編輯 ]

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9^#

發表於 07-1-29 18:33:53 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

2.設a>b>0，求(a^2)+ {1/[b(a-b)]}的最小值
先針對1/[b(a-b)]做討論,如果b(a-b)越大,則1/[b(a-b)]越小
利用算術平均>=幾何平均
[b+(a-b)]/2>=根號(b(a-b))
a/2>=根號(b(a-b))
a^2/4>=b(a-b)
當b(a-b)最大值時有min{(a^2)+ {1/[b(a-b)]}}
所以最小值為 a^2+1/(a^2/4) = a^2+1/(a^2/4)
再利用一次算術平均>=幾何平均
(a^2+4/a^2)/2 >= 根號(4)
(a^2+4/a^2)/2 >= 2
(a^2+4/a^2) >= 4
當a=根號(2)時且b=根號(2)/2,有最小值4

Ans:4

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-30 12:08 AM 編輯 ]

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發表於 07-1-29 21:22:38 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

6.若函數f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)在區間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]
這是一個開口向下的二次函數圖形(有區域及全域最大值13/2,當x=0時)
代入a到方程式
2a=(-1/2)(a^2)+(13/2)
求出解得到a=-2+根號(17) or -2-根號(17)

討論a
(i)當a=-2+根號(17),b>a 如此一來2a就不是最小值,因為當x>0時　函數值是遞減 (此情況不合)
(ii)當a=-2-根號(17)比(i)有更小的值當2a的時候

討論b,其實當2b=13/2 b=3.25 有極大值
我們去算f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)=0 發現圖交x軸於正負根號(13) 約正負3.60
b=3.25在其內

因此[a,b]區間為[-2-根號(17),3.25]

(這一題我解釋的好亂...應該是有問題)

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