證明題(數列&三角函數)

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coastd54703

名望的居民

電梯直達

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發表於 07-2-22 22:33:32 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1.設數列{an}的首項為a1=5，且當n≥2時，an=(n-1)/(n+1)an-1成立，則：
(1)推測an=？以n表之。
(2)試以數學歸納法證明。

2.此題theta以日代表！theta是一個角度，因為我不會打，怕打英文會太冗長，造成大家看文的不便，若有不便還請多見諒！
度以。(句號)代表！
(1)0<tan日<兀/4，試證：(1-tan日){1+tan[(兀/4)-日]}恆為定值。
(2)a=(1+tan1。)(1+tan2。)(1+tan3。)......(1+tan44。)，則a為幾位正整數？其首位數字為何？

A：
2(2)
7位正整數
首位數字為4

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tzhau

一般的居民

2^#

發表於 07-2-23 00:38:22 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由coastd54703 於 07-2-22 10:33 PM 發表
2.此題theta以日代表！theta是一個角度，因為我不會打，怕打英文會太冗長，造成大家看文的不便，若有不便還請多見諒！
度以。(句號)代表！
(1)0<tan日<兀/4，試證：(1-tan日){1+tan[(兀/4)-日]}恆為定值。
(2)a=(1+tan1。)(1+tan2。)(1+tan3。)......(1+tan44。)，則a為幾位正整數？其首位數字為何？

Sol：此題為tangent的和角公式應用

　　　(1)我不太確定...供參考...(見附圖)

　　　(2)tan(A+B)=tan45。=(tanA+tanB)/(1-tanA˙tanB)=1

　　　所以tanA+tanB=1-tanA˙tanB　　→　　tanA+tanB+tanA˙tanB=1

　　　a=(1+tan1。)(1+tan2。)(1+tan3。)......(1+tan44。)

　　　=[(1+tan1。)(1+tan44。)][(1+tan2。)(1+tan43。)]˙˙˙˙˙˙［(1+tan22。)(1+tan23。)］
　　　　|←　　　　　　　　　　　　　　　　　共　22　個　2　　　　　　　　　　　　　　　　　→|
　　　=2^22

　　　=1024X1024X4

　　　約等於4000000

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　故共有7位數字　首位數為4

[ 本文最後由 tzhau 於 07-2-23 01:11 AM 編輯 ]