多項式的因式分解

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傲月光希

名望的騎士

電梯直達

1^#

發表於 07-5-12 17:32:05 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

請證明f(x)=1+x+...+x^(p-1)不可以分解成係數在有理數集合中的多項式相乘，其中p為質數。

歡迎大家討論，一段時間我再把我的解法給PO出來。

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M.N.M.

名望的英雄

2^#

發表於 07-5-12 20:45:00 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

f(x)=x^(p-1)+x^p-2)+...+x+1

=[(x^p)-1]/(p-1)

令x=y+1

[(x^p)-1]/(p-1)

={[(y+1)^2]-1}/(p-1)

={pC0*(y^p)+pC1*[y^(p-1)]+...+pCp*y}/y

=pC0*[y^(p-1)]+pC1*[y^(p-2)]+...+pCp

∵p不能整除pC0，p^2不能整除pCp，其餘係數都能被p整除

∴ 根據艾氏判別法，f(x)=1+x+...+x^(p-1)不可以分解成係數在有理數集合中的多項式相乘，其中p為質數

故得證

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-5-12 08:46 PM 編輯 ]

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傲月光希

名望的騎士

3^#

發表於 07-5-12 21:14:45 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由M.N.M. 於 07-5-12 08:45 PM 發表
f(x)=x^(p-1)+x^p-2)+...+x+1

=/(p-1)

令x=y+1

/(p-1)

={-1}/(p-1)

={pC0*(y^p)+pC1*+...+pCp*y}/y

=pC0*+pC1*+...+pCp

∵p不能整除pC0，p^2不能整除pCp，其餘係數都能被p整除

∴ 根據艾氏判別法，f(x)=1+x+...+x^ ...

小M，你用的是Eisenstein Criterion吧?可是，Eisenstien只保證說在Z中不可分喔，你必須要再加上Gauss' Lemma才能說在Q中不可分
Q為Z的field of fractions，所以才能這樣說，懂了嗎?
所以你之前學的艾式判別法都沒有說清楚為什麼在Q中不可分

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