有個問題我這樣解

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cfc21

名望的居民

電梯直達

1^#

發表於 07-5-12 19:15:33 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

Q：a,,b,c為x^3-3x+4=0之三根，求(a-b)(b-c)(c-a)=?
我的解法為：http://163.32.74.12/cfc/20070512/20070512.html
(1)不知有沒有算錯？
(2)不知有沒有其他算法？
歡迎提供，給聲望喔:大笑

※背景有小孩的嘻鬧聲:狂笑

[ 本文最後由 cfc21 於 07-5-12 11:17 AM 編輯 ]

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M.N.M.

名望的英雄

2^#

發表於 07-5-12 20:08:09 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

這題其實在暑假活動有這一題

沒關係，再下已有替代的(雖然難度比較高一點)

設a為實根，b、c為共軛虛根
所以任意兩根相減必不為0

a+b+c=0
ab+bc+ca=-3
abc=-4

a^3-3a+4=0
b^3-3b+4=0
c^3-3c+4=0

a^3-3a+4=b^3-3b+4
(a^3-b^3)-3(a-b)=0
(a-b)(a^2+ab+b^2-3)=0

a^2+ab+b^2=3
(a-b)^2=3-3ab=3(1-3ab)
同理(b-c)^2=3(1-bc)，(c-a)^2=3(1-ca)

令(a-b)(b-c)(c-a)=k

k^2=27(1-ab)(1-bc)(1-ca)
   =27[1-ab-bc-ca+(a^2)bc+a(b^2)c+ab(c^2)-(abc)^2]
   =27[1-(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)-(abc)^2]
   =27[1-(-3)+0*(-4)-(-4)^2]
   =-324
k=18i or -18i

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